Rombuch

Rückführung hat einen besonderen Vorteil: Durch seine Beschäftigung mit einer von
der Analysis losgelösten Theorie der Mengen kann er die reellen Zahlen auf noch
grundlegenderen Objekten fußen lassen. Die Mengen scheinen auf der einen Seite
mächtig genug zu sein, um damit alles Denkbare und Undenkbare (im wahrsten Sinne
des Wortes) zu fassen. Andererseits sind diese Objekte in ihren Grundzügen einfach
genug, so dass sie auch von allen ohne Zweifel als existent und unbedenklich angesehen
werden.
Als Frege und Russell sie um die Jahrhundertwende dann zum ” Urstoff aller Mathematik“
erklären wollen und damit scheitern, ist der Aufschrei in der mathematischen
Welt groß. Die meisten haben sich schließlich auf die Mengen verlassen. Man hat zu
fühlen geglaubt, dass hier der Schlüssel und der Grund aller Mathematik läge und
man sich so getrost mit allem beschäftigen könne, was einen gerade umtreibt. Im Zweifel
würde schon irgendwann jemand kommen und die eigenen Theorien auf Mengen
zurückführen und alles wäre gerettet. Als aber die Existenz dieser Mengen nicht mehr
so gesichert scheint, sind die Mathematiker gezwungen, sich jeder an seiner eigenen
Nase zu packen und sich zu fragen, mit was für Objekten hier hantiert wird. Was
wird durch die Mathematik modelliert? Welche Aussagen liefert die Mathematik für
unsere physikalische Wirklichkeit? Und genau an dieser Stelle setzen schließlich der
Formalismus und der Intuitionismus mit ihren Lösungswegen an.
5.3 Der Formalismus
In früheren Auffassungen von Mathematik waren die Motivationen und Vorgehensweisen
von der Anschauung her begründet, beispielsweise von physikalischen Vorgängen
oder Problemen, und die Wahrheitsansprüche von Theorien fußten auf anschaulicher
überprüfung. Der Formalismus geht nun einen ganz anderen Weg, was ihm auch die
Bezeichnung ” Moderne Auffassung der Mathematik“ einbringt. Die entscheidende
Neuerung ist, dass im Formalismus ein System von Axiomen die Basis jeder Theorie
bildet, Begriffe abstrakt definiert werden und die Gültigkeit von Aussagen durch formale
Herleitung aus den Axiomen sichergestellt wird. Durch diese Ablösung von der
sinnlich fassbaren Realität und durch die In-sich-selbst-Begründung der Mathematik
wird ein bedeutender – wenn nicht der bedeutendste – Schritt zur Selbstständigkeit
und Unabhängigkeit der Mathematik von den anderen (empirischen) Wissenschaften
vollzogen.
Diese Herangehensweise entsteht in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts und
findet ihren mächtigsten Fürsprecher in David Hilbert (1862-1943), dem führenden
Mathematiker des frühen 20. Jahrhunderts. Hilbert (Abbildung 5.1) war Professor in
der Stadt Göttingen, die er zusammen mit Klein als Weltzentrum der Mathematik
etablierte. In ” Grundlagen der Geometrie“ (1899), dem Kernstück seiner axiomatischen
Methode, stellte er die Geometrie auf axiomatische Beine. Im darauffolgenden Jahr hält
er auf dem 2. internationalen Mathematikerkongress eine bedeutende Rede, in der
er für die zukünftige mathematische Forschung 23 Probleme vorstellt. Später (1918-
22) stellt er in Anlehnung daran sein ” Hilbert-Programm“ auf, dessen Ziel es ist, die
Widerspruchsfreiheit des formalistischen Programms zu beweisen.
Charakteristisch dabei ist sein unübertroffener Optimismus, was die Lösbarkeit
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