Rombuch

versucht hat und letztlich daran gescheitert ist, weil seine Definitionen die Objekte nur
schwammig umschreiben.
Hilbert dagegen versucht eine abstrakte Geometrie anzugeben, die in ihren Eigenschaften
der intuitiven ebenen Geometrie entspricht, jedoch nicht auf diese beschränkt ist.
Die Objekte werden nicht durch diese Definitionen charakterisiert, sondern durch die
nun folgenden Axiome. Er verwendet zwar die Begriffe ” Punkte“, ” Geraden“ und ” Ebenen“
(auch in der gewohnten Weise auch beim Aufstellen seiner Axiome), allerdings
spielt der Name dabei an und für sich keine Rolle, denn sie stehen nur für abstrakte
Objekte. Hilbert wird die Aussage zugeschrieben, dass man stattdessen auch die Begriffe
” Stühle“, ” Tische“ und ” Bierseidel“ verwenden kann und man immer noch die
gleiche Geometrie erhält.
Hilfsmittel wie der Dimensionsbegriff sind für Hilbert nicht notwendig. Seine Objekte
sind bereits eindeutig durch die Eigenschaften charakterisiert, die in den Axiomen
eingeführt werden. Auf diese Variante kann Euklid nicht zurückgreifen, da sein Axiomensystem
darauf nicht ausgelegt ist und gerade die Axiome, die im Besonderen für
diese Charakterisierung zuständig sind, fehlen. Sie fehlen auch, da diese intuitiv, wie
an einigen anderen Problemstellen beobachtbar, für wahr angenommen werden, ohne
dass sie aber wahr sein mssen.
Am Ende von Kapitel I folgt der Abschnitt über die Axiome der Stetigkeit, darunter
auch das der linearen Vollständigkeit der Geometrie. Letzteres ist nicht zu verwechseln
mit der Vollständigkeit des Axiomensystems.
V2 (Axiom der linearen Vollständigkeit).
Das System der Punkte einer Gerade mit seinen Anordnungs- und Kongruenzbeziehungen
ist keiner solchen Erweiterung fähig, bei welcher den vorigen
Elementen bestehenden Beziehungen sowie auch die aus den Axiomen
I-III folgenden Grundeigenschaften der linearen Anordnung und Kongruenz,
und V1 erhalten bleiben.
(Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 8)
Dieses Axiom schließlich sorgt nun dafür, dass der Fall Q 2 in Proposition nicht eintreten
kann und dass die Existenz des Schnittpunktes gesichert ist.
Man kann nachprüfen – diesen Weg wählt Hilbert im Abschnitt über die Widerspruchsfreiheit
–, dass im kartesischen Raum R 2 alle Axiome erfüllt sind und damit in der Tat
eine Geometrie im Sinne der Grundlagen darstellt. Befänden wir uns also im Raum Q 2 ,
so hätten wir eine Erweiterung, nämlich R 2 , in der alle Axiome erüfllt sind und dies
widerspricht Axiom V2. Damit wäre das große Problem von Proposition 1 durch die
Erweiterung des Axiomensystems gelöst.
Das Kapitel schließt mit der Bemerkung, die diesen Gedanken aufnimmt, dass ” unsere
Geometrie sich als identisch mit der Cartesischen Geometrie erweist“. Die Axiome
sind also in der Tat in einer solchen Weise sinnvoll zusammengestellt, dass die abstrakt
konstruierte Geometrie mit der intuitiv wahrnehmbaren übereinstimmt.
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