GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

2 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
soluciones del sistema de ecuaciones:
∂f
∂x
= 0,
∂f
∂y
Note que se dice "posibles"; con esto se indica que los puntos solución del sistema pueden o
no ser extremos relativos. Mientras tanto, los puntos que no son solución de dicho sistema no
pueden ser extremos. Esto explica el nombre de puntos críticos que se da a las soluciones de dicho
sistema.
Los puntos que son soluciones de dicho sistema pero que no son extremos relativos son los
que los que se denominan puntos silla. El significado geométrico, para funciones de dos variables,
de los puntos silla, está bien ilustrado en el dibujo de la página 202 (192).
Otro resultado importante que debe considerarse en esta sección es el teorema 6. Este pro-
porciona un método para determinar cuándo un punto crítico de una función de dos variables
corresponde a un máximo o a un mínimo. Observe que este teorema establece que (x0, y0) es un
mínimo relativo cuando es un punto crítico y además cumple dos cosas: ∂2 f
∂x 2 (x0, y0) es positivo
y D(x0, y0) también es positivo. También dice que (x0, y0) es un mínimo relativo cuando es un
punto crítico y además cumple que ∂2 f
∂x 2 (x0, y0) es negativo y D(x0, y0) es positivo. Por otra parte,
si D(x0, y0) es negativo entonces (x0, y0) es un punto de silla.
¿Qué sucede cuando D(x0, y0) = 0? El teorema no responde; el punto puede ser máximo,
mínimo o de silla, pero esto solo se puede saber de alguna otra manera en cada caso particular.
Nota: En la cuarta edición, en este teorema, aparece un error; falta un exponente 2 en uno de
los términos del discriminante. Debe leerse:
2 2 ∂ f ∂ f
D =
−
Extremos absolutos
∂x 2
∂y 2
= 0
2 2
∂ f
.
∂x ∂y
Puede decirse que un mínimo absoluto es el punto que tiene la menor imagen, bajo la función,
de todos los del dominio; por el contrario, un máximo absoluto es el que tiene la mayor imagen
de todos los elementos del dominio.
Observe la diferencia entre máximo relativo y máximo absoluto; el relativo tiene la mayor
imagen con respecto a una "parte" del dominio, mientras que el absoluto tiene la mayor imagen
UNED Acortando distancias