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22 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
4.2 Longitud de arco
Si visualiza una curva como un pedazo de alambre, la medida del alambre al "estirarlo" es la
longitud de arco de la curva. El texto proporciona una fórmula para determinar dicha longitud. Esta
fórmula es lo fundamental de la sección.
Aunque la fórmula lleva fácilmente a establecer la integral que nos permite determinar la
longitud de arco, usualmente esta integral es difícil de calcular utilizando las técnicas estándar.
Incluso, algunas veces se hace necesario utilizar técnicas de aproximación. En los ejercicios que
aparecen en el texto, por lo general sí se puede calcular la integral.
Observaciones
• La justificación de la fórmula de Longitud de arco, página 271 (261), presenta un análisis
interesante que bosqueja el proceso de definición de la fórmula para determinar este valor;
se recomienda que lea esta sección aunque no forme parte de los objetivos a evaluar en este
curso. Lo mismo sucede con el diferencial de la longitud de arco, página 269 (259).
• De la lista de ejercicios de esta sección, los ejercicios recomendados son del 1 al 10, 12 y 19.
Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, de las página 273 y 274 (262-263)
1. Calcular la longitud de arco de s(t) = ti + t(sen t)j + t(cos t)k en el intervalo [0, π].
Solución: Según la fórmula dada, la longitud de arco es la integral de la rapidez en el
intervalo indicado.
En este caso se tiene s ′ (t) = 1i + (sen t + t cos t)j + (cos t − t sen t)k, entonces:
s ′ (t) = 1 2 + (sen t + t cos t) 2 + (cos t − t sen t) 2 = √ 2 + t 2 .
π √
La longitud de arco viene dada por la integral L = 2 + t2 dt.
Primero se calculará la integral indefinida. Para calcularla primero se procede por susti-
tución trigonométrica, y para t = √ 2 tan θ, entonces dt = √ 2 sec 2 θ dθ. Se tiene entonces
que
√2
+ t2 dt = 2
0
sec 3 θ dθ.
Para esta integral se procede por partes, haciendo u = sec θ y dv = sec 2 θ, así du = sec θ tan θ,
UNED Acortando distancias