GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 51
Cambio de variables para integrales triples
También se proporciona una fórmula análoga para el cambio de variables para integrales tri-
ples:
donde:
D
f(x, y, z) dx dy dz =
D ∗
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
∂(x, y, z)
∂(u,
v, w) du dv dw,
• La transformación T se determina mediante la ecuaciones x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) y
•
z = z(u, v, w).
∂(x, y, z)
es el jacobiano de la transformación T ; y se define como
∂(u, v, w)
∂(x, y, z)
∂(u, v, w) =
Se consideran dos cambios de variables muy útiles para las integrales triples.
• Coordenadas cilíndricas: x = r cos θ, y = r sen θ, z = z; el jacobiano de estas coordenadas es r.
El significado geométrico es el siguiente: dado un punto (x, y, z) en R 3 , r es la longitud del
vector que va de (0, 0, 0) a (x, y, 0) en el plano xy; θ es el ángulo que se forma (sobre el plano
xy) entre la parte positiva del eje x y el vector (x, y, 0); z es el mismo z de las coordenadas
rectangulares.
• Coordenadas esféricas: x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ; el jacobiano de estas
coordenadas es −ρ 2 sen φ (cuando se hace el cambio de variables en la integral se escribe
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
ρ 2 sen φ pues se considera el valor absoluto del jacobiano).
El significado geométrico es el siguiente: dado un punto (x, y, z) en R 3 , ρ es la longitud del
vector que va de (0, 0, 0) a (x, y, z) en el plano xy; θ es el ángulo que se forma (sobre el plano
xy) entre la parte positiva del eje x y el vector (x, y, 0); φ es el ángulo que se forma entre la
parte positiva del eje z y el vector (x, y, z).
Para una descripción detallada, y dibujos explicativos, sobre las coordenadas cilíndricas y esféri-
cas vea la sección 1.4 del texto.
En esta sección se recomienda realizar todos los ejercicios.
∂z
∂v
UNED Acortando distancias
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w