GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 67
De (22) y (23) se obtiene que, para la situación dada, la integral de línea de F a lo
largo de σ, es igual a la integral de trayectoria de F a lo largo de σ, tal como pide el
ejercicio.
5. Evaluar
σ F · ds, donde F (x, y, z) = y i + 2x j + y k, σ(t) = t i + t2 j + t 3 k, 0 ≤ t ≤ 1.
Solución: Se tiene que F (σ(t)) = F (t, t 2 , t 3 ) = (t 2 , 2t, t 2 ). Además, σ ′ (t) = (1, 2t, 3t 2 ); por lo
tanto,
σ
F · ds =
=
=
=
1
0
1
0
1
0
1
0
= 5 3
+
3 5
F (σ(t)) · σ ′ (t) dt
(t 2 , 2t, t 2 ) · (1, 2t, 3t 2 ) dt
(t 2 + 4t 2 + 3t 4 ) dt
(5t 2 + 3t 4 ) dt =
= 34
15 .
5
3 t3 + 3
5 t5
1 0
6. Sea F = (z 3 + 2xy)i + x 2 j + 3xz 2 k. Mostrar que la integral de línea de F a lo largo del
perímetro del cuadrado de vértices (±1, ±1) es cero.
Solución: Se puede optar por parametrizar el cuadrado considerado (se hace a trozos, una
parametrización para cada lado; algo parecido al ejemplo 7.13 de la sección 7.2, página 433)
y evaluar la integral directamente.
Sin embargo, en este caso particular, funciona mejor la aplicación del teorema 3 (sección 7.2).
Como en el caso de un cuadrado o de cualquier curva simple cerrada, la trayectoria inicia
en un punto, suponga A y termina en el mismo punto A, entonces, si el integrando es un
gradiente (digamos F = ∇f); según el teorema mencionado, se tiene que la integral de ∇f
sobre esa curva es igual a f(A) − f(A) = 0 (de paso, esta argumentación da respuesta al
ejercicio 14 de la sección 7.2: el valor de la integral de un campo gradiente sobre una curva
cerrada es igual a 0).
Basta entonces ver que el F de este ejercicio es un gradiente. Observe que si toma la función
f(x, y, z) = z3x + x2y, entonces ∂f
∂x = z3 + 2xy, ∂f
∂y = x2 y ∂f
∂z = 3xz2 ; es decir F = ∇f. Se
concluye que la integral pedida es igual a 0.
UNED Acortando distancias