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40 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
5.5 La integral triple
En esta sección se define la integral triple. Consiste en integrar una función de tres variables
f(x, y, z) sobre una región que corresponde a un sólido en R 3 . De acuerdo con el teorema de
Fubini, una integral triple se calcula mediante integrales iteradas, comenzando de adentro hacia
afuera. En este caso, se deberán realizar tres integrales unidimensionales: una con respecto a x,
otra con respecto a y y otra con respecto a z; el orden depende de cómo se determinen los límites
de integración. Algunas indicaciones análogas al caso de integrales dobles:
• Los límites de integración de la integral de "afuera" corresponden a la variable cuyo dife-
rencial aparece tercera (a la derecha) en el integrando; los de la integral del "centro" corres-
ponden a la variable cuyo diferencial aparece segundo (en el medio) en el integrando.
• Los límites de integración de la integral de afuera tienen que ser constantes.
• Los límites de integración de la integral del medio pueden ser constantes o variables, pero
si son variables solo pueden depender de la variable cuyo diferencial aparece último en el
integrando. Por ejemplo, si el integrando es f(x, y, z) dxdydz, los límites de integración de
la integral del medio solo pueden depender de la variable z, pues el tercer diferencial es dz.
• Los límites de integración de la integral de adentro pueden ser constantes o variables. Si son
variables pueden depender de una o de las dos variables cuyo diferencial aparece segundo
o tercero en el integrando. Por ejemplo, si el integrando es f(x, y, z) dxdydz, los límites de
integración de la integral de adentro pueden depender de la variable y, de la z o de las dos.
• Para seleccionar los límites de integración es conveniente esbozar la región de integración.
b ψ(x) δ(x,y)
• Cuando se escribe una integral iterada como
f(x, y, z) dz dy dx, se considera
que la región es W = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x), γ(x, y) ≤ x ≤ δ(x, y)} o,
viéndolo geométricamente, decimos que la región está constituida por los puntos (x, y, z)
tales que la x varía desde x = a hasta x = b, la y varía desde la curva y = φ(x) hasta la curva
a
φ(x)
γ(x,y)
y = ψ(x) y la z varía desde la superficie z = γ(x, y) hasta la superficie z = δ(x, y).
Finalmente, recuerde que la integral triple sobre S:
dx dy dz
S
UNED Acortando distancias