GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

68 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
Ejercicios propuestos
1. Calcule la integral de trayectoria de f(x, y, z) = x2 + xy + y 2
σ(t) = (cos t, sen t, −1) para 0 ≤ t ≤ 2π.
z 2
sobre la trayectoria dada por
2. Evalúe
C f(x, y) ds, donde C es el segmento de parábola y = 4x2 , que va del punto (1, 4) al
punto (0, 0).
3. Evalúe
C
punto (1, 1, 1).
(5xy dx + 10yz dy + z dz), donde C es el segmento de recta que va de (0, 0, 0) al
4. Evalúe la integral de línea del campo F (x, y, z) = (y − 2z, x, −2xy) siguiendo la trayectoria
σ(t) = (t, t 2 , −1) para 1 ≤ t ≤ 2.
5. Evalúe
(1, 1, 1).
6. Evalúe
σ
σ
F · ds, donde F = −3y i + 3x j + 3x k y σ es la trayectoria recta que va de (0, 0, 1) a
F · ds, donde F = z i + y j + x k y σ es el triángulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0),
(0, 0, 1) recorrido en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.
7.3 y 7.4 Superficies parametrizadas y área de superficies
Se define una superficie como una función Φ : D ⊂ R 2 → R 3 :
Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
(la superficie se parametriza utilizando dos parámetros), con ciertas condiciones. Como en las
curvas, la imagen de Φ(D) de una superficie parametrizada (la función) es un objeto geométrico
llamado superficie S.
Si Φ es diferenciable en un punto (u0, v0), se definen los vectores tangentes
Tv = ∂x
∂v (u0, v0) i + ∂y
∂v (u0, v0) j + ∂z
∂v (u0, v0) k
Tu = ∂x
∂u (u0, v0) i + ∂y
∂u (u0, v0) j + ∂z
∂u (u0, v0) k
Se dice que la superficie es suave en Φ(u0, v0) si el producto vectorial Tu × Tv = (0, 0, 0) en
(u0, v0).
UNED Acortando distancias