GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 27
div F = ∂
∂x (3x2 + 3y 2 + 3z 2 ) + ∂
∂y (4x2 + 4y 2 + 4z 2 ) + ∂
∂z (5x2 + 5y 2 + 5z 2 )
= 6x + 8y + 10z.
2. Sea F (x, y, z) = (3x 2 y, x 3 + y 3 , 0).
(a) Comprobar que rot F = 0
(b) Hallar una función f tal que ∇f = F
Solución:
∂ ∂
rot F = 0 −
a) ∂y ∂z (x3 + y 3
∂
) i +
∂z (3x2y) − ∂
∂x 0
∂
j +
∂x (x3 + y 3 ) − ∂
∂y (3x2
y) k
= 0i + 0j + (3x2 − 3x2 )k = (0, 0, 0)
b) Para que F = ∇f, es necesario que (3x2y, x3 + y3
∂f ∂f ∂f
, 0) = , , y, por lo tanto:
∂x ∂y ∂z
∂f
∂x = 3x2 y,
∂f
∂y = x3 + y 3 ,
En el primer caso, al integrar respecto a x se obtiene f(x, y, z) = x 3 y + C(y, z), donde C(y, z)
es un término que depende de y y de z.
Al integrar la segunda igualdad con respecto a y, se obtiene f(x, y, z) = x 3 y + 1
4 y4 + D(x, z),
donde D(x, z) es un término que depende de x y z. Finalmente, se integra en la tercera igual-
dad con respecto a z y se obtiene f(x, y, z) = E(x, y) (es decir, f no depende de z). Según
esto, se puede tomar f(x, y, z) = x 3 y + 1
4 y4 .
∂f
∂z
= 0.
3. Verificar que F = y(cos x)i + x(sen y)j no es un campo gradiente.
Solución: Para que fuera un gradiente debe existir una función f(x, y) tal que ∇f = F ; es
decir, tal que
∂f
∂x
= y(cos x),
∂f
∂y
= x(sen y).
Pero integrando en el primer caso con respecto a x y en el segundo con respecto a y se
obtendría:
f(x, y) = y(sen x) + A(y), f(x, y) = −x(cos y) + B(x).
Como A(y) solo depende de y, pero el término −x(cos y) depende de x y de y, no hay manera
de obtener f en la forma f(x, y) = y(sen x) + A(y); es decir, F no es un gradiente.
UNED Acortando distancias