GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 21
6. Si r(t) = 6ti + 3t 2 j + t 3 k ¿qué fuerza actúa sobre una partícula de masa m que se mueve a lo
largo de r en el instante t = 0?
Solución: Aquí se debe aplicar la segunda ley de Newton. Note que r(t) = (6t, 3t 2 , t 3 )
F(r(t)) = ma(t) = mr”(t) = m(0, 6, 6t) = 6m(0, 1, t)
De esta forma, en t = 0, la fuerza es equivalente a seis veces la masa en la dirección j.
7. Demuestre que si la aceleración de un objeto es siempre perpendicular a la velocidad enton-
ces la rapidez del objeto es constante.
Solución: Note que la hipótesis dice a(t) · v(t) = 0 o lo que es equivalente a escribir
v ′ (t) · v(t) = 0. Ahora la rapidez es v(t) = v(t) · v(t) por lo que se calcula
d
dt (v(t) · v(t)) = v′ (t) · v(t) + v(t) · v ′ (t) = 2v ′ (t) · v(t) = 0
Así el cuadrado de la rapidez es constante y implica que la rapidez también lo es.
Ejercicios propuestos
En los ejercicios 1 y 2 escriba una trayectoria que represente la curva dada.
1. La circunferencia de centro (1, 1) y radio 3.
2. El triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1).
Determine la velocidad, la rapidez y la aceleración en el punto t dado, de un partícula que
sigue cada una de las trayectorias dadas en los ejercicios 3 a 5.
3. σ(t) = (sen t, cos t, t 2 ), t = π.
4. σ(t) = (t + 1, t − 2, t 2 ), t = 2.
5. σ(t) = (e t , e −t ), t = 1.
6. Una partícula sigue la trayectoria σ(t) = (t, t 2 , t 3 ) hasta que sale por una tangente en t = 2,
¿en qué punto se encuentra cuando t = 5?
7. Determine una trayectoria σ(t) tal que σ(0) = (1, 2, 3) y σ ′ (t) = (t, −t, t 3 ).
8. La aceleración de una partícula que se mueve en el plano es a(t) = (24t 2 , 4). Si en el instante
t = 0 la partícula se encuentra en el punto σ(0) = (1, 2) y en ese mismo instante su velocidad
es v(0) = (0, 0), determine la trayectoria de la partícula.
UNED Acortando distancias