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26 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
4.4 Rotacional y divergencia
En esta sección se proporciona la definición de dos operadores para campos vectoriales y se prue-
ban dos propiedades importantes de ellos. Si F = (F1, F2, F3), estos operadores se definen así:
• Rotacional:
• Divergencia:
rot F = ∇ × F =
∂F3
∂y
∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1
− i + − j + − k
∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
div F = ∇ · F = ∂F1
∂x
+ ∂F2
∂y
+ ∂F3
∂z
Observe que el rotacional es un campo vectorial, mientras que la divergencia es un campo
escalar.
Además, se dice que un campo vectorial es irrotacional si su rotacional es (0, 0, 0) y es incompre-
sible si su divergencia es 0.
Los ejercicios recomendados de esta sección van del 1 al 16 y del 21 al 33.
Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, páginas de la 302 a la 305 (286 a la 288)
1. Calcular el rotacional y la divergencia de F (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )(3i + 4j + 5k).
Solución: Observe que F (x, y, z) = (3x 2 + 3y 2 + 3z 2 , 4x 2 + 4y 2 + 4z 2 , 5x 2 + 5y 2 + 5z 2 ), esto
da, de modo más evidente, los componentes de F . Se tiene que:
∂
rot F =
∂y (5x2 + 5y 2 + 5z 2 ) − ∂
∂z (4x2 + 4y 2 + 4z 2
) i
∂
+
∂z (3x2 + 3y 2 + 3z 2 ) − ∂
∂x (5x2 + 5y 2 + 5z 2
) j
∂
+
∂x (4x2 + 4y 2 + 4z 2 ) − ∂
∂y (3x2 + 3y 2 + 3z 2
) k
= (10y − 8z)i + (6z − 10x)j + (8x − 6y)k
UNED Acortando distancias