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48 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
lineales son uno
a uno (y también sobre) si y solo si ad − bc = 0 (recuerde que ad − bc es el
a
b
determinate
c
d
).
Se recomienda realizar todos los ejercicios propuestos.
Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, página de la 366 (357)
1. Probar que T (x ∗ , y ∗ ∗ ∗ x − y
) = √ ,
2 x∗ − y∗
√ rota el cuadrado unitario D
2
∗ = [0, 1] × [0, 1].
Solución: Observe que T es de la forma T (x, y) = (ax + by, cx + dy), con a = −b, a = c = d
y a = 1
√ , por lo tanto es lineal. Esto significa que envía el paralelogramo D
2 ∗ en otro
paralelogramo. Para ver cuál es este otro paralelogramo basta calcular la imagen de los
vértices (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) de D ∗ ; se tienen:
T (0, 0) = 0, T (0, 1) =
La imagen D de D ∗ es el cuadrado de vértices (0, 0),
se obtiene al rotar D ∗ un ángulo de 45 ◦ .
− 1
√ ,
2 1
√ , T (1, 1) = (0,
2
√
1
2), T (1, 0) = √2 , 1
√ .
2
− 1
√ ,
2 1
√ , (0,
2
√
1
2), √2 , 1
√ , que
2
2. Sea D ∗ el paralelogramo acotado por las rectas y = 3x − 4, y = 3x, 2y = x y 2y = x + 4. Si
D = [0, 1] × [0, 1] encontrar T tal que T (D ∗ ) = D.
Solución: Se define D ∗ como el paralelogramo determinado por las rectas
1○ y = 1
1
x, 2○ y = 3x, 3○ = x + 2, 4○ y = 3x − 4y
2 2
Se define D = [0, 1] × [0, 1]. Se pide hallar una transformación T tal que T (D ∗ ) = D.
Los vértices de D ∗ están dados por las intersecciones de las rectas. Las rectas señaladas con
1○ y 2○ tienen, evidentemente, intersección en (0, 0). Para determinar la intersección entre
las rectas 1○ y 4○ se hace 1
8
x = 3x − 4, por lo que x = y, sustituyendo en la ecuación de
5 2
cualquiera de ellas dos se obtiene que y = 4
8 4
; así, la intersección entre ellas es , . Pro-
5 5 5
4 12
cediendo de modo análogo se obtiene que la intersección entre las rectas 2○ y 3○ es ,
5 5
y la intersección entre las rectas 3○ y 4○ es
12 16
,
5 5
.
UNED Acortando distancias