GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 63
Si la hormiga recorre C según la trayectoria γ, entonces la velocidad en cada punto de la
trayectoria es γ ′
1 1
(t) = ,
2 2 t
1 1
. En este caso, el punto , se obtiene cuando t = 1 y, entonces,
2 4
la velocidad en ese punto es γ ′
1 1
(1) = , . Es decir, la velocidad de la hormiga sobre la curva
2 2
depende de la trayectoria.
Si la hormiga recorre C, siguiendo σ, entonces parte del punto σ(0) = (0, 0) y de esta forma
llega al punto σ(1) = (1, 1). Mientras tanto, si la recorre siguiendo la trayectoria δ, parte del punto
δ(0) = (1, 1) y llega al punto δ(1) = (0, 0). Es decir, recorre la curva en sentido opuesto al anterior.
Verifique usted que γ va en el mismo sentido que σ.
Las tres trayectorias dadas son diferentes parametrizaciones de la misma curva; se dice que
cada una es reparametrización de las otras. Siguiendo con el ejemplo, se dice que γ preserva la
parametrización de σ y que δ invierte la parametrización de σ.
¿Qué efectos tiene una reparametrización en el resultado de una integral de línea o de trayec-
toria? El asunto del cambio de velocidad a la hora de reparametrizar no tiene ningún efecto en el
valor de la integral de línea o de trayectoria, pero el cambio de orientación cambia el signo en la
integral de línea aunque en la de trayectoria no afecta. Es decir, si σ es una trayectoria C 1 y γ es
una reparametrización de σ, entonces:
LA INTEGRAL DE TRAYECTORIA del campo escalar f(x, y, z) no cambia; es decir:
f(x, y, z) ds = f(x, y, z) ds
σ
LA INTEGRAL DE LÍNEA del campo vectorial F (x, y, z) no cambia si las dos parametrizaciones
tienen la misma orientación y cambia de signo si tienen orientaciones opuestas; es decir
F · ds = F · ds
F · ds = − F · ds
σ
γ
si tienen la misma orientación si tienen orientaciones opuestas
Lo anterior permite definir integrales de trayectoria e integrales de línea sobre una curva sim-
ple; vea las definiciones correspondientes en el texto. Se debe tener presente que las integrales de
trayectoria y de línea se definen sobre curvas suaves o suaves a trozos y que no tienen autointer-
secciones.
UNED Acortando distancias
γ
σ
γ