GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 65
por lo tanto, la integral de trayectoria indicada es
σ
θ2
f(x, y)ds = f(r cos θ, r sen θ)
θ1
r 2 +
(b) Calcular la longitud de arco de r = 1 + cos θ, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Solución: Para r = 1 + cos θ, se tiene dr
= − sen θ; por lo tanto,
dθ
r 2 +
2 dr
=
dθ
(1 + cos θ) 2 + (− sen θ) 2 = √ 2 + 2 cos θ.
La curva correspondiente a la longitud de arco es un cardioide
como se muestra en la figura, entonces se puede calcular la
longitud para θ ∈ [0, π] y multiplicar por 2; es decir, la longitud
2 dr
dθ.
dθ
x .
1 2
del cardioide es
π
√
2 2 + 2 cos θdθ = 2 4 sen
0
1
2 θ
−1
π = 2 · 4 = 8.
Figura 15: Cardioide
0
2. Evaluar
f ds, donde f(x, y, z) = z, σ(t) = (t cos t, t sen t, t), para 0 ≤ t ≤ t0.
σ
Solución: Se tiene: σ ′ (t) = (cos t − t sen t, sen t + t cos t, 1), entonces
.
y
1
σ ′ (t) = (cos t − t sen t) 2 + (sen t + t cos t) 2 + 1 2 = √ 2 + t 2 .
Por otra parte, f(σ(t)) = f(t cos t, t sen t, t) = t, por lo que
σ
t0
f ds = f(σ(t))σ ′ t0
(t) dt =
3. Evaluar
σ
0
0
.. .
t √ 2 + t2dt = 1
√ t0 3 2 + t2 =
3
0
1
2 + t
3
2 3 0
− 2√
2.
3
yz dx + xz dy + xy dz, donde σ está formada por los segmentos de recta que unen
a (1, 0, 0) con (0, 1, 0) y (0, 1, 0) con (0, 0, 1).
Solución: Los dos segmentos de recta: C1: de (1, 0, 0) a (0, 1, 0) y C2: de (0, 1, 0) a (0, 0, 1).
El primero de ellos se puede parametrizar de la siguiente manera:
El segundo se puede parametrizar así:
σ1(t) = (1 − t, t, 0), 0 ≤ t ≤ 1.
σ2(t) = (0, 1 − t, t), 0 ≤ t ≤ 1
UNED Acortando distancias