GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 95
5. (4 puntos) De acuerdo con la integral dada se tienen que y va de y = 0 a y = 4 y x va de
x = 1
2 y a x = √ y. Esto corresponde a la región encerrada entre las curvas y = 2x, y = x 2
(que se cortan en los puntos (0, 0) y (2, 4)).
Invirtiendo el orden de integración se obtiene que
II Reposición, PAC. 2004-2
4 √
y
0
y
2
f(x, y)dxdy =
2 2x
1. (5 puntos) Las coordenadas cilíndricas vienen dadas por
0
x 2
f(x, y)dydx.
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z;
el jacobiano de esta transformación es r. La proyección de la región sobre el plano xy
(equivalentemente, z = 0) es el cuarto de circunferencia del primer cuadrante dado por
x2 + y2
≤ 4, por lo tanto, θ ∈ 0, π
y r ∈ [0, 2]; además, z varía de z = 0 a z = 4 − r
2
2 . Por
otra parte, x − y = r (cos θ − sen θ); de este modo,
R
(2x − y)dxdydz =
=
=
π
2
0 0
π 2 2
0
π
2
0
= 64
15
2 4−r2 0
0
(2 cos θ − sen θ) r 2 dzdrdθ
(2 cos θ − sen θ) (4r 2 − r 4 )drdθ
(2 cos θ − sen θ)
(2 sen θ + cos θ)| π
2
0 = 64
15 .
2. (5 puntos) Como se sabe las coordenadas polares vienen da-
das por x = r cos θ, y = r sen θ; el jacobiano de esta transfor-
1
mación es J = r. Por otra parte,
4 + x2 1
= . De
+ y2 4 + r2 acuerdo con la figura se tiene que r ∈ [0, 2] (pues x2 + y2
= 4
es una circunferencia de radio 2) y θ ∈ 0, π
pues la recta
4
y = 0 corresponde a θ = 0 y la recta y = x corresponde a
θ = π
. De todo esto, se tiene que
4
UNED Acortando distancias
4
3 r3 − 1
5 r5
2
dθ
0
2
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
... .
.. . ... . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
.
.
. .
. .
x.
.
−1 1 2 3
−1
y
Figura 17: Problema 2.
.
.