GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

18 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
1 1
Para γ: γ(t) = t,
2 4 t2
. Si se hace x = 1 1
t, y =
2 4 t2 , entonces, también en este caso y = x2 .
Por otra parte γ(0) = (0, 0) y γ(2) = (1, 1). Esto significa que también esta trayectoria corresponde
al arco de parábola indicado.
Derivada, velocidad, rapidez y aceleración
Se define la derivada de una trayectoria mediante la derivada de sus coordenadas. Por ejemplo,
si σ(t) = (t 2 , 2t), entonces σ ′ (t) = ((t 2 ) ′ , (2t) ′ ) = (2t, 2).
Se dice que la derivada de una trayectoria en cada punto t, es la velocidad en cada punto de
una partícula que siguiera esa trayectoria. La segunda derivada recibe el nombre de aceleración de
la partícula. Además, la norma de la derivada se llama rapidez de la partícula.
Por ejemplo, para σ(t) = (t 2 , 2t), en cada punto:
• La velocidad es v(t) = σ ′ (t) = (2t, 2)
• La aceleración es a(t) = v ′ (t) = σ”(t) = (2, 0)
• La rapidez es v(t) = (2t, 2) = √ 4t 2 + 4
El texto proporciona en la página 141, sección 2.4 (131), una fórmula para describir la recta tan-
gente a una curva en un punto dado.
Algunas veces se dice que la curva correspondiente a una trayectoria σ es suave si σ es de clase
C 1 ; esto es, tanto σ como su derivada son diferenciables en el interior del intervalo en el que están
definidas y por lo tanto, son funciones continuas.
Un aplicación sumamente útil, corresponde a la Segunda ley de Newton que se reduce a
escribir: Fuerza es igual a masa por la aceleración, que en el caso de una partícula que se mueva bajo
la influencia de un campo de fuerza F en una curva σ(t) se escribe:
F(σ(t)) = mσ”(t)
Se sugiere la realización de los ejercicios de las secciones 2.4 y 4.1. del 1 al 20 y del 1 al 19 respec-
tivamente.
UNED Acortando distancias