GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 35
• Para saber dónde corta al eje y se hace x = 0, entonces 3 · 0 + 4y = 10 y, por lo tanto
y = 5
2 .
Lo anterior produce la región sombreada en la figura. Note que x varía entre 0 y 10
; si se
3
toma un valor x0 cualquiera en ese intervalo y se consideran los puntos (x0, y) en la región,
verá que la y viaja desde 0 hasta la recta dada. Despejando y en la ecuación de la recta se
obtiene y = 5
2
D
(x 2 + y 2 )dxdy =
3
− x; esto dice que
4
10
3
0
10
3
5 3
− 2 4 x
0
(x 2 + y 2 ) dy dx
5 3
− 2 4 x
= x
0
2 y + 1
3 y3 dx
0
10
3
= x
0
2
5 3
−
2 4 x
+ 1
5 3
−
3 2 4 x
3
dx
10
3 125
=
0 32 x2 − 57
64 x3 + 125 75
−
24 16 x
dx
= 125
96 x3 − 57
256 x4 + 125 75
x −
24 32 x2
10
3
= 15625
1296 .
0
2
5
y
.
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. . 10
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. 3
. ..
. x
............................................................................................................................................................................................................................
Figura 4: Domino de
integración.
3. Hallar el volumen de la región dentro de la superficie z = x 2 + y 2 , entre z = 0 y z = 10.
Solución: Si se sustituye z = 10 en la ecuación original se obtiene x 2 + y 2 = 10, de modo
que su sección transversal en el plano z = 10 es la circunferencia x 2 + y 2 = 10, z = 10.
De acuerdo con esto, la proyección de la superficie indicada, sobre el plano xy es el círculo
D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 10}. Entonces, el volumen bajo S : z = x2 + y2
está dado por
VS = (x 2 + y 2 ) dy dx. Pero nos están pidiendo el volumen de lo que está debajo de la
D
gráfica. Si esta se considera determinada por el plano z = 10, el volumen del sólido bajo
esta superficie C, sobre D, es VC = 10 dy dx. Observe que el sólido que el ejercicio está
considerando está contenido entre las superficies C y S.
D
UNED Acortando distancias