GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 103
3. (5 puntos) Se tiene div F = ∂F1
∂x
Por otra parte
+ ∂F2
∂y
+ ∂F3
∂z = yexy + ze yz + xe zx .
i j k
rot V = ∇ × V =
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
e xy e yz e zx
= −ye yz i − ze zx j − xe xy k
4. (7 puntos) La región de integración se proporciona en la figura abajo.
La recta que une los puntos (0, 2) y (0, 4) es x = 0; la que une los puntos (2, 0) y (2, 2) es
x = 2; la que une los puntos (0, 2) y (2, 0) es y = 2 − x; finalmente, la recta que une los
puntos (0, 4) y (2, 2) es y = 4 − x. Así, si (x, y) pertenece a la región de integración, entonces
0 ≤ x ≤ 2, mientras que 2 − x ≤ y ≤ 4 − x. La integral es, por lo tanto:
D
(x 2 + 2xy)dxdy =
II Reposición, PAC. 2003-2
=
=
2 4−x
0
2
0
2
0
2
2−x
(x 2 + 2xy)dydx
x 2 y + xy 2 4−x
2−x dx
[2x 2 + x(12 − 4x)]dx
= [12x − 2x
0
2 ]dx
= 6x 2 − 2
3 x3
2
= 56
3 .
1. (6 puntos) Primero se calcula la masa:
0
D
(0, 4)
(0, 2)
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(2, 2)
(2, 0)
Figura 20: Región ejercicio 4.
dxdy. Como D es un semicírculo, utilizamos
coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ; para la región dada se tienen 0 ≤ r ≤ 1 y
0 ≤ θ ≤ π. Además, se sabe que el jacobiano es r, entonces
D
dxdy =
1
0
π
UNED Acortando distancias
0
rdθdr = 1
2 π.
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