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28 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR Ejercicios propuestos En los ejercicios 1 a 3, calcule el rotacional y la divergencia del campo vectorial dado. 1. F = e −xy i + e xz j + e yz k 2. F = (e x sen y) i + e x cos y j + k 3. F = xy 2 i + yz 2 j + zx 2 k 4. Para F = xy i + yz j + z 2 k y G = x i + y j − z k, calcule div(F × G). 5. Sea A un vector constante y R = x i + y j + z k. Pruebe que rot(A × R) = 2A. 6. Sea A un vector constante y R = x i + y j + z k. Pruebe que div(A × R) = 0. UNED Acortando distancias
Capítulo 5. Integrales dobles y triples 5.1 y 5.2 Integral doble sobre un rectángulo Recuerde que, en el caso de funciones de una sola variable, la integral definida, sobre un intervalo cerrado de la recta real, de una función f es "el área bajo la curva" (si la función es positiva en ese intervalo). La integral doble considera funciones de dos variables y ya no se integra sobre un intervalo sino sobre una región en el plano; la integral doble (de una función positiva) sobre una región es el volumen del sólido bajo la superficie que representa la función. En la sección 5.1 se exponen tales ideas. Posteriormente, se enuncia el principio de Cavalieri que establece lo siguiente: Si el área de la sección transversal de un cuerpo sólido, medida a una distancia x de un plano de referencia, es A(x), entonces el volumen del sólido está dado por la expresión b V = A(x) dx, donde a y b son, respectivamente, la distancia mínima y máxima a a partir del plano de referencia. Este principio lleva a un método para calcular integrales dobles cuando la región de integra- ción es rectangular. En este caso, la integral doble sobre tal tipo de región se reduce al cálculo de integrales iteradas; esto es, el cálculo de dos integrales definidas en una variable. Una integral iterada es una integral del tipo b d a c f(x, y) dy dx, (14) en la que, para su cálculo, se integra primero la integral de "adentro", considerando la función solo como función de y (esto es, la x se comporta como constante al momento de efectuar la 29
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