GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

72 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
es
2π
V = 2
0
2 √ 4−r2 1
0
r dz dr dθ = 4 √ 3π.
El área de la superficie se calcula en dos partes: la de adentro que es el área de un segmento
de cilindro y la de afuera que es un aro de la esfera.
El cilindro interior tiene radio de la base 1 y altura 2 √ 3, por lo que su área es 2π · 1 · 2 √ 3 o
en forma simplificada 4π √ 3.
Para el área de afuera se calcula el área de la mitad de arriba y se multiplica por 2; para esto
se usará la parametrización
x = 2 cos θ sen φ, y = 2 sen θ sen φ, z = 2 cos φ
(el 2 que aparece como coeficiente es el radio de la esfera). Para determinar dónde varían los
parámetros θ y φ, note que la proyección sobre el plano xy es una circunferencia, por lo que
θ ∈ [0, 2π]; mientras que la proyección sobre el plano yz es el triángulo de vértices (0, 0, 0),
(0, 1, √ 3) y (0, 1, 0). El ángulo φ que forma el vector (0, 1, √ 3) es π
π π
, por lo tanto φ ∈ , .
6 6 2
Para esta parametrización se tiene
Tθ × Tφ = (−2 sen θ sen φ, 2 cos θ sen φ, 0) × (2 cos θ cos φ, 2 sen θ cos φ, −2 sen φ)
= −4 cos θ sen 2 φ, −4 sen θ sen 2 φ, −4 sen φ cos φ
= 16 cos 2 θ sen 4 φ + 16 sen 2 θ sen 4 φ + 16 sen 2 φ cos 2 φ = 4 sen φ.
Así, el área de la superficie exterior de la figura es
2
2π
0
π
2
π
6
4 sen φ dφ dθ = 16π [− cos φ] π
2
π
6
= 8π √ 3.
El área total de la superficie es la suma de las dos áreas obtenidas:
Ejercicios propuestos
A = 4π √ 3 + 8π √ 3 = 12π √ 3.
1. Determine el área de la superficie z = 1 − 1
2 (x2 + y 2 ) sobre 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 0.
2. Determine el área de la superficie cónica z = x 2 + y 2 interior al cilindro x 2 + y 2 = 1.
3. Calcule el área de la superficie determinada por el plano 2x + 3y + 6z = 6 ubicada en el
primer octante.
UNED Acortando distancias