GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

14 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
• Si x = 0, entonces, por (12), y 2 = 1 y, por lo tanto, y = 1, y = −1. De aquí resultan dos
puntos críticos (0, 1) y (0, −1).
• Si −4(λ − 1) 2 + 1 = 0, entonces (λ − 1) 2 = 1
4
3 1
y, por lo tanto, λ = , λ =
2 2 .
– Si se hace λ = 3
2 en (10) se tiene que x = y y, sustituyendo en (12), 2x2 = 1.
Resulta entonces que x = 1
√ , x = −
2 1
√ . Obteniéndose otros dos puntos críticos:
2
1
√2 , 1
√ y −
2
1
√ , −
2 1
√ .
2
– Si se hace λ = 1
2 en (11) se tiene que −x = y y, sustituyendo en (12), 2x2 = 1.
Resulta entonces que x = 1
√ , x = −
2 1
√ . Obteniéndose otros dos puntos críticos:
2
1
√2 , − 1
√ y −
2
1
√ ,
2 1
√ .
2
Ahora hay que determinar los puntos críticos en el interior del disco. Entonces:
∂f
= 0
∂x
⇒ 2x + y = 0
∂f
= 0
∂y
⇒ x + 2y = 0
La única solución de esta sistema es x = 0, y = 0, por lo que (0, 0) es otro punto crítico.
Finalmente, evaluamos en todos los puntos críticos para ver cuál es el máximo y cuál es el
mínimo:
(x, y) (0, 1) (0, −1)
f(x, y) 1 1 3
2
√2 1 , 1
√ −
2
1 √ , −
2 1
√ √2 1 , −
2
1
√ −
2
1
3
2
1
2
√ ,
2 1 √
2
1
2
(0, 0)
La más pequeña de estas imágenes es 0; este es el mínimo. La más grande es 3
, este es el
2
máximo.
4. Un servicio de mensajería exige que las dimensiones de una caja rectangular cumpla con
que el largo más el doble del ancho más el doble de la altura no sobrepase los 108 cm. ¿Cuál
es la capacidad de la caja de mayor volumen que se puede conseguir con esta condición?
Solución: El volumen de la caja es V = lwh y esta es la función a maximizar donde l es el
largo, w el ancho y h la altura. La restricción es l + 2w + 2h = 108 (en el interior el único
punto crítico es (0, 0, 0), pero esto no corresponde a las dimensiones de una caja). Se debe
UNED Acortando distancias
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