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16 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR UNED Acortando distancias
Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales 2.4 y 4.1 Introducción a las trayectorias y curvas, aceleración y segunda ley de Newton Es conveniente trabajar juntas las secciones [2.4 y 4.1], aunque en el libro se encuentren separa- das. De esta forma integraremos dos temas que están muy relacionados como son la velocidad y la aceleración. Es importante visualizar una curva como la trayectoria que sigue una partícula cuando se desplaza en el plano o en el espacio. Esta trayectoria será, entonces, una función del tiempo. Por esta razón se define una trayectoria como una función de t, donde t varía en un intervalo y las imágenes son elementos de R n (si n = 2 se tiene una trayectoria en el plano, si n = 3 se tiene una trayectoria en el espacio). La "traza" o "dibujo" de las imágenes genera una curva. También es importante hacer notar que a cada trayectoria, en la forma que la define el texto, le corresponde una única curva, pero dada una curva, ésta puede ser descrita por múltiples trayectorias. Por ejemplo, considere el arco de la parábola dada por la ecuación y = x 2 , que va del punto (0, 0) al punto (1, 1). Las dos trayectorias siguientes producen este arco: Note que ambas producen el mismo arco: σ : [0, 1] → R 2 γ : [0, 2] → R 2 t ↦→ (t, t 2 1 1 ) t ↦→ t, 2 4 t2 Para σ: σ(t) = (t, t 2 ). Si se hace x = t, y = t 2 , entonces y = x 2 . Por otra parte σ(0) = (0, 0) y σ(1) = (1, 1). En síntesis, la trayectoria corresponde al arco de parábola indicado. 17
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