GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 41
corresponde al volumen del sólido S. Así, si se quiere calcular el volumen del sólido determinado
por la intersección de las superficies z = x 2 +y 2 (paraboloide) y z = 1 − x 2 − y 2 +1 (semi cáscara
esférica) que está representada a la izquierda en la siguiente figura.
Figura 8: Volumen de un sólido.
Lo que se hace para determinar los límites de integración es proyectar la superficie sobre el plano
xy, que como se puede apreciar en esta figura, se obtiene un círculo de radio 1. Con esto, se
determina que los valores de x están en el intervalo [−1, 1], los de y varían entre las gráficas
y = √ 1 − x 2 y y = − √ 1 − x 2 y los valores de z entre z = x 2 + y 2 y z = 1 − x 2 − y 2 + 1.
Los ejercicios recomendados en esta sección comprenden toda la lista.
Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, páginas de la 354 a la 355 (346 a la 347)
1. Calcular
W
(1−z 2 )dx dy dz, donde W es la pirámide con
vértice superior en (0, 0, 1) y vértices de la base en (0, 0, 0),
(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (1, 1, 0).
x
.
.
1
z
1
2○
...........................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
1○
Figura 9: Región de integración
triple.
Solución: En principio se puede ver en la figura adjunta que x varía entre x = 0 y x = 1
y que los correspondientes valores de y varían entre y = 0 y y = 1. Pero, ¿qué sucede con
UNED Acortando distancias
1
.
y