GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

4 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
Solución: Para determinar los puntos críticos se debe resolver el sistema de ecuaciones
Como ∂f
∂x
= 2x − y, ∂f
∂y
∂f
∂x
= 0,
∂f
∂y
= 0
= 2y − x, entonces, el sistema a resolver es
2x − y = 0
−x + 2y = 0
Dado que este es un sistema lineal homogéneo y el determinante de la matriz de coeficientes
es 3 = 0, entonces, la única solución del sistema es (0, 0). Este es el único punto crítico de la
función.
Ahora es necesario averiguar qué tipo de punto es. Para esto, se aplica el teorema 5. Se
calcula la segunda derivada parcial con respecto a x y se evalúa en (0, 0). En este caso
∂2f = 2. Como es constante, al evaluar en (0, 0) se obtiene el mismo valor: 2.
∂x2 Ahora se requiere calcular la segunda derivada parcial con respecto a y: ∂2f = 2 y la se-
∂y2 gunda derivada mixta: ∂2f = −1. Al evaluar en (0, 0) se obtienen los mismos resultados
∂x ∂y
puesto que todas estas derivadas son constantes. Así, el discriminante es:
2 2 ∂ f ∂ f
D =
−
∂x 2
∂y 2
2 2
∂ f
= 2 · 2 − (−1)
∂x ∂y
2 = 3 > 0.
Como D es positivo y ∂2f (0, 0) también es positivo, entonces (0, 0) corresponde a un mí-
∂x2 nimo.
2. Hallar los puntos críticos de la función f(x, y) = (x−y)(xy −1) y determinar si son máximos
o mínimos relativos, o corresponden a puntos silla.
Solución: Primero se desarrolla el producto: f(x, y) = x 2 y − x − xy 2 + y.
Luego se calculan las derivadas parciales y se igualan a 0:
∂f
∂x = 2xy − 1 − y2 = 0 (1)
∂f
∂y = x2 − 2xy + 1 = 0 (2)
UNED Acortando distancias