GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

32 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
5. Calcular el volumen del sólido acotado por el plano xz, el plano yz, el plano xy, los planos
x = 1, y = 1, y la superficie z = x 2 + y 4 .
Solución
La proyección del sólido sobre el plano xy es el rectángulo R = [0, 1] × [0, 1]; entonces, el
volumen bajo la superficie es
Ejercicios propuestos
R
(x 2 + y 4 ) dxdy =
=
=
=
1 1
0
1
0
(x 2 + y 4 ) dxdy
1 dy
0
1
0 3 x3 + xy 4
1
1
+ y4 dy
0 3
1 1
y +
3 5 y5
1 = 1 1
+
3 5
0
= 8
15 .
En los ejercicios 1 a 4 calcule la integral doble de f(x, y) dada sobre el rectángulo R.
1. f(x, y) = (2x + y) 3 , R = [−1, 5] × [3, 7]
2. f(x, y) = x 2 ye xy , R = [0, 1] × [0, 1]
3. f(x, y) = x cos(2x − y), R = [1, 2] × [3, 4]
4. f(x, y) =
1
, R = [2, 3] × [2, 3]
(2x + y − 3) 3
5.3 Integral doble sobre regiones más generales
En las secciones anteriores se definió el concepto de integral doble de una función de dos variables
sobre regiones rectangulares; en esta sección este concepto se amplía para definir una integral
doble sobre otro tipo de regiones en el plano. Si f es la función dada y D es la región, lo anterior
se logra considerando un rectángulo R que contenga a la región D y definiendo una función nueva
g que sea igual a la función dada dentro de la región e igual a 0 en toda la parte del rectángulo
que queda fuera de la región. La integral doble de la función dada f, sobre la región D, se define
como la integral doble de la nueva función g sobre el rectángulo R.
UNED Acortando distancias