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64 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
Se da también un teorema, que es una generalización del teorema fundamental del cálculo,
que establece que la integral de línea de un campo vectorial gradiente ∇f está determinada por
el valor de f en los puntos finales de la trayectoria.
Finalmente, si una curva se puede parametrizar por pedazos, la integral de línea sobre esa
curva es igual a la suma de las integrales de línea sobre cada uno de los pedazos de la curva,
teniendo el cuidado necesario en las orientaciones de las parametrizaciones.
La fórmula de longitud de arco de σ que se estudió en la sección 4.2 es sencillamente la integral
de trayectoria
σ ds.
Por otra parte, es posible calcular el promedio de una función sobre una curva C, la masa de
C o su centro de masa, utilizando fórmulas análogas a las dadas para regiones planas y en el
espacio. Así, el valor promedio de f(x, y, z), a lo largo de la trayectoria σ es
f(x, y, z)ds
σ
[f]prom =
σ ds
.
La masa de C, siendo δ(x, y, z) la densidad, es
m(C) = δ(x, y, z)ds.
C
De la lista de ejercicios de la sección 7.1. debe realizar los ejercicios del 1 al 14 y de la sección
7.2. realice los ejercicios del 1 al 17.
Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, páginas de la 416 a la 419, 435 a la 438
(400-402, 417-421)
1. (a) Mostrar que la integral de trayectoria de f(x, y) a lo largo de una trayectoria dada en
coordenadas polares por r = r(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2 es
θ2
f(r cos θ, r sen θ) r2 +
θ1
2 dr
dθ.
dθ
Solución: Las coordenadas polares vienen dadas por x = r cos θ, y = r sen θ, entonces
se tiene f(x, y) = f(r cos θ, r sen θ).
Por otra parte, x ′ (θ) = dr
dθ cos θ − r sen θ y y′ (θ) = dr
sen θ + r cos θ, entonces
dθ
dr
2
2
dr
[x ′ (θ)] 2 + [y ′ (θ)] 2 = cos θ − r sen θ + sen θ + r cos θ = r
dθ dθ 2 +
UNED Acortando distancias
2 dr
,
dθ