GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 69
El plano tangente a la superficie en Φ(u0, v0) = (x0, y0, z0) tiene ecuación:
donde Tu × Tv se evalúa en (u0, v0).
(x − x0, y − y0, z0) · (Tu × Tv) = 0,
Encontrar una parametrización para una superficie dada es en general más difícil que encon-
trara una parametrización para una curva dada; esto por cuanto para la superficie se requieren
dos parámetros (u y v), mientras que para la curva solamente es necesario uno (t).
En vista de lo anterior, solamente se considerarán las superficies parametrizadas que ya vienen
dadas en el texto.
El área A(S) de una superficie parametrizada es
A(S) = Tu × Tv du dv.
D
Observe que esta definición es la análoga a la longitud de arco para el caso de las curvas;
Tu × Tv juega un papel parecido al de σ ′ .
Cuando la superficie S corresponde a la imagen de una función de dos variables z = f(x, y),
el área puede calcularse mediante
A(S) =
D
∂f
∂x
2
+
2 ∂f
+ 1 dx dy.
∂y
Ejercicios recomendados para la sección 7.3 del 1 al 15 y de la sección 7.4 del 1 al 22.
Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, páginas de la 446 a la 447 (427-429) y de la
457 a la 460 (438-440)
1. Hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie dada por x = u2 − v2 , y = u + v,
z = u2
+ 4v, en − 1
1
, , 2 .
4 2
Solución: Primero se debe determinar el punto (u0, v0) que produce x = − 1 1
, y = , z = 2
4 2
(que son las coordenadas del punto de tangencia). Entonces, (u0, v0) se obtiene resolviendo
el sistema
− 1
4 = u2 0 − v 2 0,
1
2 = u0 + v0, 2 = u 2 0 + 4v0.
UNED Acortando distancias