GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

94 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
es decir
x
x + y + z ·
y
x + y + z ·
z
x + y + z
≤
1
27 ⇒
xyz
3
(x + y + z)
≤
1
27 ⇒
(x + y + z)3
xyz ≤ ⇒
27
3√ x + y + z
xyz ≤ .
3
2. (a) (3 puntos) Se tiene que c ′ (t) = (−a sen t, a cos t, b), luego la rapidez es
que es constante.
(b) (3 puntos) La longitud de arco es
c ′ (t) = √ a 2 sen 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 = √ a 2 + b 2 ,
L =
2π
0
√ a 2 + b 2 dt = 2π √ a 2 + b 2 .
3. (6 puntos) Se tiene que rot F = ∇ × F = ∇ × (xy, yz, zx) = (−y, −z, −x) .
Por otra parte, F ×rot F = (xy, yz, zx)×(−y, −z, −x) = (−yzx + z 2 x, −yzx + x 2 y, −yzx + y 2 z) .
Entonces
div (F × rot F ) = ∇ · −yzx + z 2 x, −yzx + x 2 y, −yzx + y 2 z
= −yz + z 2 − zx + x 2 − xy + y 2 .
4. (5 puntos) Según vemos del dibujo, x va de x = 0 a x = 1 y y va de y = x a y = 1. Entonces:
R
(y 2 − x 2 )dxdy =
1
1
0
1
x
(y 2 − x 2 )dydx
1
=
0 3 y3 − x 2 1
y dx
x
1
1
=
0 3 − x2 − 1
3 x3 + x 3
dx
= 1 1
x −
3 3 x3 + 1
6 x4
1
0
= 1
6 .
UNED Acortando distancias
1
.
y
Figura 16: Problema 4.
.
1
x
.