GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

104 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
Ahora, usando nuevamente coordenadas polares:
Por lo tanto el promedio es
D
x 2 ydxdy =
2
15
1
2
=
=
1
0
1
0
1
0
4
=
π 15π .
π
r
0
2 cos 2 θr sen θrdθdr
π
r
0
4 cos 2 θ sen θdθdr
r 4 · −1
3 cos3 π
θ
dx = 2 1
·
3 5 r5 1 2
= 0 15 .
2. (6 puntos) Las coordenadas cilíndricas están dadas por x = r cos θ, y = r sen θ, z = z; su
jacobiano es r. Se tienen x 2 + y 2 ≤ 1, de modo que r se mueve entre 0 y 1 y θ entre 0 y 2π. De
la desigualdad 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2 se tienen que z se mueve entre 0 y 4 − r 2 . Por lo tanto
W
(x 2 + y 2 ) dxdydz =
=
=
=
=
0
2π 1 4−r2 0 0 0
2π 1
3 4−r
r z 2
0 0
2π 1
0 0
2π 1
0
2π
0
= 8
5 π.
0
r 2 rdzdrdθ
0
drdθ
r 3 4 − r 2 drdθ
4r 3 − r 5 drdθ
r 4 − 1
5 r5
1
3. (6 puntos) Se tiene c ′ (t) = (3 cos t, −3 sen t, 1), luego c ′ (t) = √ 9 cos 2 t + 9 sen 2 t + 1 = √ 19.
Además f(c(t)) = 6 cos t + 3t. Luego
c
f(x, y, z) ds =
π
2
0
= √ 19
(6 cos t + 3t) √ 19dt
6 sen t + 3
2 t2
π
2
0
0
dr
= √
19 6 + 3
8 π2
.
4. (6 puntos) La superficie se puede escribir como z = g(x, y) = 2x − 5y, y, entonces ∂g
∂x
UNED Acortando distancias
= 2,