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50 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
El teorema establece que si dada una función f : D → R y T una transformación uno a uno
de clase C 1 (esto es, existen las derivadas parciales y éstas son derivables) tal que T (D ∗ ) = D,
entonces T induce un cambio de variables en la integral y se tiene
f(x, y) dx dy =
f(x(u, v), y(u, v))
∂(x, y)
∂(u,
v) du dv,
donde:
D
• La transformación T se escribe como T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)).
•
∂(x, y)
es el Jacobiano de la transformación T ; y se define como
∂(u, v)
D ∗
∂(x, y)
∂(u, v) =
Como caso particular se comenta, en el ejemplo 1, el cambio a coordenadas polares. Estas
son muy útiles para el cálculo de ciertas integrales doble, especialmente cuando la región de
integración tiene que ver con círculos.
La transformación para las coordenadas polares es T (r, θ) = (r cos θ, r sen θ); es decir:
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
x = r cos θ, y = r sen θ
y el jacobiano es r. Observe que en este caso se utiliza r y θ en lugar de u y v. Comprender el
significado geométrico de estas nuevas variables, facilita determinar los límites de integración
cuando realiza este cambio. Para un punto (x, y) en el plano sus coordenadas polares vienen
dadas por lo siguiente:
• Se sabe que r representa la longitud del segmento de extremos (0, 0) y (x, y); por lo tanto
r 2 = x 2 + y 2 .
• Luego, θ representa el ángulo entre la parte positiva del eje x y el segmento de extremos
(0, 0) y (x, y); por lo tanto tan θ = y
x .
La transformación inducida por las coordenadas polares transforma un círculo centrado en
(0, 0), de radio a, en el rectángulo R = [0, a] × [0, 2π], de manera que, por ejemplo, la integral
f(x, y) dx dy, donde C es la región limitada por la circunferencia de centro (0, 0) y radio a se
C a 2π
convierte en f(r cos θ, r sen θ) r dθ dr, cuando se cambia a coordenadas polares.
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UNED Acortando distancias