GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 9
El lado señalado con 3○ en la figura corresponde a los puntos de la forma (x, 2π), con x entre
0 y 2π. De modo que al evaluar la función queda de una sola variable:
f(x, 2π) = sen x + cos 2π = sen x − 1.
Derivando se tiene (sen x − 1) ′ = cos x, que se hace 0 cuando x = 1 3
π o x = π. Se obtienen
2 2
1 3
así otros dos puntos críticos: π, 2π , π, 2π .
2 2
Finalmente, el lado señalado con 4○ en la figura corresponde a los puntos de la forma (0, y),
con 0 ≤ y ≤ 2π. De modo que al evaluar la función queda de una sola variable:
f(0, y) = sen 0 + cos y = cos y.
Derivando se tiene (cos y) ′ = − sen y, que se hace 0 cuando y = 0, y = π o y = 2π. Se obtienen
así tres nuevos puntos críticos: (0, 0), (0, π) y (0, 2π). En total hay 12 puntos críticos. Hay
que evaluar f en cada uno de ellos:
f( 1
2
f( 1
2
π, π) = sen 1
2
π, 0) = sen 1
2
π + cos π = 0 f(3 2
π + cos 0 = 2 f(3 2
3
π, π) = sen π + cos π = −2
2
π, 0) = sen 3
2
π + cos 0 = 0
f(2π, 0) = sen 2π + cos 0 = 1 f(2π, π) = sen 2π + cos π = −1
f(2π, 2π) = sen 2π + cos 2π = 1 f( 1
2
f( 3
2
π, 2π) = sen 3
2
1
π, 2π) = sen π + cos 2π = 2
2
π + cos 2π = 0 f(0, 0) = sen 0 + cos 0 = 1
f(0, π) = sen 0 + cos π = −1 f(0, 2π) = sen 0 + cos 2π = 1
1
El valor máximo de la función es 2 este se alcanza en los puntos π, 0 y
2
3
mínimo es −2 que se alcanza en el punto π, π .
2
1
π, 2π y el
2
6. Un pentágono está compuesto por un rectángulo y un triángulo isósceles. Si la longitud del
perímetro está dada, hallar la máxima área posible.
Solución: La función a maximizar es la función determinada
por el área de la figura, que es A = xy + 1
yh, donde h
2
es la altura del triángulo. De acuerdo con la trigonometría,
h = 1
y tan θ. Según esto,
2
A = xy + 1
4 y2 tan θ. (3)
Por otra parte, el perímetro es P = 2x + y + 2r, donde r es
la medida de los lados iguales del triángulo isósceles.
UNED Acortando distancias
θ
r
.
.............
.............
............. h
.............
r
x x
Figura 2: Maximizar el área.
y
.......................................................................................................................................................
.