GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 89
5. (7 puntos) Para que c(t) sea una línea de flujo de F se debe tener que c ′ (t) = F (c(t)), para
todo t ≥ 0. Se tiene que c ′ (t) = (2(a + b)t, 2at) y F (c(t)) = √ a + b t, √ a t .
Luego, c ′ (t) = F (c(t)) ⇒ (2(a + b)t, 2at) = √ a + b t, √ a t ⇒
2(a + b) = √ a + b o 2a = √ a
De 2a = √ a se tiene que 4a 2 = a ⇒ a(4a − 1) = 0, de donde a = 0 o a = 1
4 .
Sustituyendo a = 0 en 2(a + b) = √ a + b se obtiene 2b = √ b, es decir b = 0 o b = 1
4 .
Sustituyendo a = 1
4 en 2(a + b) = √
1 1
1
a + b se obtiene 2 + b = + b, es decir + b = 0
4 4 4
o 1 1
+ b = , por lo tanto b = −1 o b = 0.
4 4 4
En conclusión, c(t) es una línea de flujo de F si (a, b) = 0, 1
1
o (a, b) = , 0 o
4
4
1
(a, b) = , −1 . El caso (a, b) = (0, 0) está excluido por hipótesis.
4 4
6. (8 puntos) El punto del primer cuadrante en el que se corta la recta y + x = 2 con la parábola
y = x 2 es (1, 1). Entonces y varía de 0 a 1 y x varía de la curva y = x 2 a la recta y + x = 2, es
decir, de √ y a 2 − y. La integral pedida es
R
xydxdy =
= 1
2
= 1
2
= 1
2
1 2−y
xydxdy
√
0 y
1
x
0
2 y 2−y √ dy y
1
0
y 3 − 5y 2 + 4y dy
1
4 y4 − 5
3 y3 + 2y 2
1
0
= 7
24 .
7. (7 puntos) La región de integración es la región encerrada por las curvas y = x2 , y = x 1
3 , que
se cortan en los puntos (0, 0) y (1, 1). De manera que y va de 0 a 1 y x va de la curva y = x 1
3
UNED Acortando distancias