GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 97
5. (7 puntos) Se puede parametrizar la superficie mediante Φ(x, y) = xi + yj + (x 2 − y 2 )k,
entonces Tx = (1, 0, 2x), Ty = (0, 1, −2y), Tx × Ty = (−2x, 2y, 1), por lo tanto
Luego:
I Ordinario, PAC. 2003-2
S
Tx × Ty = (−2x, 2y, 1) = 1 + 4x 2 + 4y 2
1 + 4x 2 + 4y 2 dS =
=
=
=
1 1
0 0
1 1
0
1
0
1
0
0
1 + 4x 2 + 4y 2 1 + 4x 2 + 4y 2 dxdy
1 + 4x 2 + 4y 2 dxdy
x + 4
7
+ 4y2
3
3 x3 + 4y 2 1
x
0
dy
dy = 7 4
y +
3
3 y3
1
0
= 11
3 .
∂f ∂f
1. (6 puntos) Se tiene que ∇f = , = (2x + y − 2, x + 2y − 1). Resolviendo ∇f = 0, se
∂x ∂y
tienen 2x + y − 2 = 0, x + 2y − 1 = 0, es decir x = 1, y = 0. Solo hay un punto crítico: (1, 0).
Ahora se calcula ∂2f ∂x2 = 2 > 0, ∂2f ∂y2 = 2 y ∂2f ∂x∂y = 1, por lo que D = 2 · 2 − 12 = 3 > 0. El
punto corresponde a un mínimo relativo que es f(1, 0) = −1, no hay máximos relativos.
2. (6 puntos) Sea g(x, y) = x2 + y2 − 5. Se tienen ∇f = (1, 2) y ∇g = (2x, 2y). Haciendo
∇f = λ∇g se tienen 1 = 2xλ, 2 = 2yλ. De aquí, λ = 1 1
= y, por lo tanto y = 2x.
2x y
Sustituyendo en x2 + y2 = 5 se tienen x2 + 4x2 = 5, es decir x2 = 1 y, entonces x = ±1. Para
x = 1 se tiene y = 2 y para x = −1 se tiene y = −2. Hay dos puntos críticos (1, 2) y (−1, −2).
Evaluando: f (1, 2) = 5 y f (−1, −2) = −5. En (1, 2) hay un máximo y en (−1, −2) hay un
mínimo.
3. (6 puntos) Se tiene
c ′
2, 2t, 1
⇒ c
t
′
= 4 + 4t2 + 1 1√
= 4t4 + 4t2 + 1
t2 t
= 1
(2t
t
2 + 1) 2 = 1 2 1
2t + 1 = 2t +
t
t .
UNED Acortando distancias