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30 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
integral). Una vez que se ha calculado la integral de adentro, queda una sola integral en función
de x. Hemos dicho que se integra primero con respecto a y y luego con respecto x porque así está
escrito en (14), pero puede ser al revés, si así lo indica una expresión como la siguiente:
d b
f(x, y) dx dy,
c
a
Observe que en ésta, "adentro" aparece dx y afuera dy, al contrario de la anterior. En síntesis,
cuál integral se realiza primero depende de qué diferencial aparezca "adentro".
Así, la integral doble de f(x, y) sobre la región rectangular R = [a, b] × [c, d] es:
b d
f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx.
R
a
En la sección 5.2 se formaliza lo expresado en la sección introductoria. Es importante com-
prender los teoremas aquí enunciados, pero no nos preocuparemos por sus demostraciones.
El teorema de Fubini reafirma lo indicado en la sección anterior con respecto a la forma como
se calcula una integral doble cuando la región de integración es rectangular; esto es, establece la
igualdad entre la integral doble y la integral iterada correspondiente.
Se recomienda hacer los ejercicios de la sección 5.1 del 1 al 7. Y de la sección 5.2 del 1 al 10.
Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, páginas de la 317 a la 318 (300 a la 302) y
de la 330 a la 331 (313-315)
1. Calcular la integral
1 1
−1
0
(x 4 y + y 2 ) dydx.
Solución: Note que, el diferencial que aparece adentro es dy por lo que primero se integra
con respecto a y, considerando x como una constante; luego se procede con la integral que
queda (con respecto a x):
1 1
−1
0
(x 4 y + y 2 ) dydx =
=
1
−1
1
−1
c
1
1
2 x4y 2 + 1
3 y3 dx
0
1
2 x4 + 1
1
dx =
3 10 x5 + 1
3 x
1 =
−1
13
15 .
Como puede ver, se supone que usted maneja todos los elementos necesarios para el cálculo
de las integrales en una variable. Si no es así, repase sus materiales del curso Cálculo Inte-
gral.
UNED Acortando distancias