GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 57
6.3. Aplicaciones de las integrales dobles y triples
Esta sección establece una serie de fórmulas que permiten determinar cantidades físicas relacio-
nadas con láminas (regiones en el plano) y sólidos (regiones en el espacio). Estas cantidades son:
promedio de una función, masa, centro de masa y momentos de inercia. Estas fórmulas son fáciles
de comprender, aplicar y recordar y deben ser aprendidas.
Los ejercicios recomendados son los que van del 1 al 14.
Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, páginas de la 394 a la 396 (384-386)
1. Hallar el promedio (o media como lo indica el libro) de f(x, y) = e x+y sobre el triángulo con
vértices (0, 0), (0, 1) y (1, 0).
Solución: Si T es el triángulo indicado, el promedio de f viene dado por
T
[f]prom =
ex+y dx dy
dx dy
Esto significa que hay que calcular dos integrales y realizar su
cociente. En ambos casos la región de integración es T y, de
acuerdo con la figura, x va de x = 0 a x = 1 y y va de y = 0 a
y = 1 − x (esta es la ecuación de la recta que pasa por (1, 0) y
(0, 1)). Entonces:
T
T
dx dy =
e x+y dx dy =
Luego, [f]prom = 1 1
2
1 1−x
0 0
1 1−x
0
= 2.
0
dy dx =
1
0
e x+y dy dx =
T
(1 − x)dx = 1
2 ,
1
0
(e − e x ) dx = 1. Figura 14: Gráfica de
f(x, y) = e x+y .
2. Hallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro x 2 +y 2 = 2x y el cono z 2 = x 2 +y 2 ,
si la densidad es δ = x 2 + y 2 .
Solución: Empleando coordenadas cilíndricas se puede observar que θ varía de θ = − π
2
a θ = π
2 ; r va de r = 0 a la curva x2 + y 2 = 2x, que puesta en coordenadas cilíndrica
corresponde a r = 2 cos θ; z va de z = 0 a la superficie cónica z 2 = x 2 + y 2 , que puesta en
coordenadas cilíndricas corresponde a z = r.
UNED Acortando distancias