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86 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR II Reposición, PAC. 2003-2 Valor total: 24 puntos. Vale 6 puntos cada ejercicio. Instrucciones: Resuelva los cuatro ejercicios que se le presentan a continuación. Se calificará el procedimiento y los diferentes pasos necesarios para probar o resolver lo que se pide. 1. Determine el valor promedio de la función f(x, y) = x 2 y sobre la región D determinada por el semicírculo x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0. 2. Utilice coordenadas cilíndricas para evaluar la integral triple (x 2 + y 2 ) dxdydz donde W es el sólido dado por x 2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2 . W 3. Sea c la curva descrita por c : [0, π 2 ] → R3 con c(t) = (3 sen t, 3 cos t, t) y sea f(x, y, z) = 2y+3z. Evalúe f(x, y, z) ds. c 4. Evalúe la integral de superficie (3x + y S 2 )dS donde S es la superficie definida por z = 2x − 5y sobre la región D dada por −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Soluciones de los exámenes Se proporciona, a continuación, los esquemas de solución de los exámenes propuestos. I Ordinario, PAC. 2004-2 1. (8 puntos) Se tienen que ∇F = (9x 2 − 9, 2y + 4). Igualando a (0, 0) se obtiene que 9x 2 − 9 = 0 2y + 4 = 0 UNED Acortando distancias
GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 87 Este sistema tiene dos soluciones: (1, −2) y (−1, −2); estos son los puntos críticos. Vamos a aplicar el criterio dado por el teorema 6 (p. 208) a ambos puntos para determinar si corres- ponden a un máximo o a un mínimo. Para ello, primero se calculan las segundas derivadas parciales de F y el valor de D: ∂2F = 18x, ∂x2 Para (1, −2) se tiene ∂2F = 2, ∂y2 ∂2F (1, −2) = 18 > 0, ∂x2 ∂2F ∂x∂y = 0, D = ∂2F ∂x2 · ∂2F − ∂y2 ∂2F = 2, ∂y2 Por lo tanto, F tiene un mínimo local en (1, −2). Para (−1, −2) se tiene ∂2F (−1, −2) = −18 < 0, ∂x2 ∂2F = 2, ∂y2 ∂ 2 F ∂x∂y ∂ 2 F ∂x∂y 2 2 ∂ F = 36x. ∂x∂y = 0, D = 36 > 0 = 0, D = −36 < 0 Por lo tanto, F no tiene ni máximo ni mínimo local en (−1, −2) (es un punto de silla dado que D < 0). 2. (7 puntos) Utilizamos el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar el mínimo. Para ello consideramos g(x, y, z) = 2x 2 + 3y 2 + 4z 2 − 13 y establecemos la ecuación 3 Es decir: ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) (1, 1, −1) = λ (4x, 6y, 8z) De aquí, y de la restricción, se obtiene el sistema 1 = 4xλ 1 = 6yλ −1 = 8zλ 2x 2 + 3y 2 + 4z 2 = 13 3 Evidentemente λ = 0, por lo tanto, de las tres primeras ecuaciones se tienen x = 1 1 , y = 4λ 6λ , UNED Acortando distancias
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UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA ESC
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Presentación La cátedra de Matem
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Capítulo 3. Derivadas de orden sup
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Capítulo 4. Funciones con valores
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Capítulo 5. Integrales dobles y tr
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