GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

10 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
Según el enunciado, P es constante, por trigonometría se sabe que r = y
2
equivalente r = 1
y sec θ. Luego, P = 2x + y + y sec θ. De aquí se despeja a x:
2
x = 1
(P − y − y sec θ) ,
2
1
cos θ
o en forma
y, sustituyendo en (3), se obtiene el área como una función de dos variables, y, θ (recuerde
que P es constante):
A(y, θ) = 1
1
(P − y − y sec θ) y +
2 4 y2 tan θ
= 1 1
P y −
2 2 y2 (1 + sec θ − 1
tan θ).
2
Ahora se calculan las derivadas parciales y se igualan a 0 para determinar los puntos críticos:
∂A
∂θ
∂A
∂y
= −1
2 y2 (tan θ sec θ − 1
2 sec2 θ) = 0
1
1
= P − y(1 + sec θ − tan θ) = 0
2 2
Como y = 0, de la primera ecuación se obtiene tan θ sec θ − 1
2 sec2 θ = 0 y, por lo tanto
sen θ = 1
1
; es decir, por las condiciones del problema, θ = π. Sustituyendo en la segunda
2 6
ecuación y despejando se obtiene que y = 2 − √ 3
P . Evaluando la función de área A en
(2 − √ 3)P, 1
6 π
, se tiene que el área máxima es
Ejercicios propuestos
A = 1
2 −
4
√
3 P 2 .
En los ejercicios 1 a 4 determine los puntos críticos de la función dada y clasifíquelos como
máximos o mínimos relativos o puntos de silla.
1. f(x, y) = (x − 2) 2 + (y − 3) 4
2. f(x, y) = (x − 4) ln(xy)
3. f(x, y) = −x 3 + 9x − 4y 2
4. f(x, y) = xy + 4 4
+
x y
5. Considere f(x, y) = 2x2 − y2 , halle el máximo y mínimo absoluto de f en el disco unitario
S = {(x, y) | x 2 + y 2 ≤ 1}.
UNED Acortando distancias