GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

88 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
z = −1
. Sustituyendo esto en la última ecuación se tiene
8λ
2
1 1
2 + 3
4λ 6λ
2
+ 4
2 −1
8λ
1 1 1
+ +
8λ2 12λ2 16λ
= 13
3 ⇒
13
= 2 3 ⇒
13 13
=
48λ2 3 ⇒
λ 2 = 1
16
Por lo tanto λ = 1
o λ = −1
4 4 .
Si λ = 1
2
, entonces x = 1, y = , z = −1
4 3 2 .
Si λ = − 1
1
, entonces x = −1, y = −2 , z =
4 3 2 .
Dado que f 1, 2
, −1 = 1 +
3 2
2
1 13
+ = y f −1, −
3 2 6 2
1
,
3 2
que el máximo es 13
y el mínimo es −13
6 6 .
= −1 − 2 1
−
3 2
= −13,
se tienen
6
3. (a) (3 puntos) Se tiene que c ′ (t) = (3 √ t, 1, √ 8), luego c ′ (t) = √ 9t + 1 + 8 = √ 9t + 9. La
rapidez cuando t = 8 es c ′ (8) = √ 9 · 8 + 9 = 9.
(b) (3 puntos) La longitud de arco viene dada por
L =
15
3
√ 9t + 9 dt = 3
16
(Se hizo la sustitución u = t + 1, du = dt).
4
u 1
2 du = 2u 3
2 16
4
= 2(64 − 8) = 112 u.l.
4. (7 puntos). Primero se calcula el rotacional de G:
∂ ∂ ∂
rot G = ∇ × (xyz, yz, z) = , , × (xyz, yz, z) = (−y, xy, −xz) .
∂x ∂y ∂z
Luego,
Finalmente,
F × rot G = (x, y, xyz) × (−y, xy, −xz) = −xyz − x 2 y 2 z, −xy 2 z + x 2 z, x 2 y + y 2
div (F × rot G) = ∇ · −xyz − x 2 y 2 z, −xy 2 z + x 2 z, x 2 y + y 2 = −yz − 2xy 2 z − 2xyz.
UNED Acortando distancias