GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

102 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
6. (7 puntos) La superficie se puede parametrizar mediante x = sen φ cos θ, y = sen φ sen θ,
z = cos φ, con θ variando de θ = 0 a θ = 2π y φ variando de φ = 0 a φ = π. Con esto,
Entonces
Por otra parte
Tθ = (− sen φ sen θ, sen φ cos θ, 0)
Tφ = (cos φ cos θ, cos φ sen θ, − sen φ)
Tθ × Tφ = − sen 2 φ cos θ, − sen 2 φ sen θ, − sen φ cos φ .
F = (sen φ cos θ, sen φ sen θ, cos φ) .
F · Tθ × Tφ = − sen 3 φ cos 2 θ − sen 3 φ sen 2 θ − sen φ cos 2 φ = − sen 3 φ − sen φ cos 2 φ = − sen φ.
Luego
I Reposición, PAC. 2003-2
Φ
F · dS =
2π
0
π
(− sen φ) dφdθ =
0
2π
0
cos φ| π
0 dθ = −4π.
1. (7 puntos) Sea g(x, y) = 2x 2 + y 2 + z 2 − 1. Se tiene ∇f = (3, 1, 1) y ∇g = (4x, 2y, 2z). Ha-
ciendo ∇f = λ∇g se tienen 3 = 4xλ, 1 = 2yλ, 1 = 2zλ. De aquí, λ = 3
4x
lo tanto y = 2 2
x, z =
3
= 1
2y
= 1
2z
y, por
3 x. Sustituyendo en 2x2 + y2 + z2 = 1 se tiene 2x2 + 4
9 x2 + 4
9 x2 = 1,
es decir x2 = 9
3
y, entonces x = ± √ . De aquí, y = ±
26 26 2
√ , z = ±
26 2
√ . Los puntos críti-
26
3
cos son √26 , 2
√ ,
26 2
−3
√ y √26 ,
26
−2
√ ,
26 −2
3
√ . Evaluando: f √26 ,
26
2
√ ,
26 2
√ =
26
13
√ y
26
−3
f √26 , −2
√ ,
26 −2
√ =
26
−13
3
√ . En √26 ,
26 2
√ ,
26 2
−3
√ hay un máximo y en √26 ,
26
−2
√ ,
26 −2
√
26
hay un mínimo.
2. (5 puntos) Se tiene
c ′ = (1, 2, 1) ⇒ c ′ = √ 1 + 4 + 1 = √ 6.
Por otra parte, el punto (−1, −2, 0) se obtiene cuando t = −1 y el punto (1, 2, 2) se obtiene
cuando t = 1. Luego, la longitud de arco es
L =
1
−1
√ 6dt = 2 √ 6.
UNED Acortando distancias