GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 43
2. Hallar el volumen del sólido acotado por las superficies x 2 + 2y 2 = 2, z = 0 y x + y + 2z = 2.
Solución: Note que x varía de − √ 2 a √ 2 (se obtiene haciendo y = 0 en la primera superficie).
Al despejar y en la ecuación x2 + 2y2
= 2 se obtiene y = ± 1 − 1
2 x2 , por lo tanto y varía
de y = − 1 − 1
2 x2
a y = 1 − 1
2 x2 . Al despejar z de la ecuación x + y + 2z = 2 se obtiene
z = 1 − 1 1
1 1
x − y, de modo que z varía de z = 0 a z = 1 − x − y. Así, el volumen pedido es
2 2 2 2
V =
=
=
=
√ 2
− √ 2
√ 2
− √ 2
√ 2
− √ 2
√ 2
− √ 2
√ 1− 1
2 x2
− √ 1− 1
2 x2
√ 1− 1
2 x2
1 1
1− x− 2 2 y
0
dz dy dx
− √ 1− 1
2 x2
1 − 1 1
x −
2 2 y
dy dx
y − 1 1
xy −
2 4 y2
√ 1− 1
2 x2
− √ 1− 1
2 x2
dx
(2 − x) 1 − 1
2 x2 dx = √ 2 π.
Para ésta última integral se toma la sustitución x = √ 2 sen(θ) y el integrando es la expresión
(2 − √ 2 sen(θ)) √ 2 cos2 (θ), y como x varia en [− √ 2, √
2] entonces θ pertenece a − π π
, .
2 2
3. Hallar el volumen de la región acotada por z = x 2 + y 2 y z = 10 − x 2 − 2y 2 .
Solución: Para ver cómo se proyecta el sólido sobre el plano xy, se determina la intersección
entre ambas superficies; como z está despejada en ambas ecuaciones entonces:
x 2 + y 2 = 10 − x 2 − 2y 2
Esta ecuación es equivalente a 2x 2 + 3y 2 = 10; así, la proyección de la intersección del sólido
sobre el plano xy es la región elíptica formada por los puntos (x, y) tales que 2x 2 + 3y 2 ≤ 10.
Así, se tiene que x varía de x = − √ 5 a x = √
5 (estos valores se obtienen al hacer y = 0 en la
1
ecuación de la elipse), y varía de y = −
3 (10 − 2x2
1
) a y =
3 (10 − 2x2 ) (esto se obtiene al
despejar y en la ecuación de la elipse), z va de z = x2 + y2 a z = 10 − x2 − 2y2 (estas son las
UNED Acortando distancias