GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 19
Ejemplos resueltos tomados de la lista de ejercicios, de la página 143 (132-133) y de las páginas
265-266 (254-255)
1. Calcule la velocidad, la aceleración y la ecuación de la recta tangente a σ(t) = (t sen t, 4t) en
t = 0 [ejercicio modificado de la lista].
Solución: La velocidad en t es v(t) = σ ′ (t) = (sen t + t cos t, 4). En t = 0 es v(0) = (0, 4).
La aceleración en t es a(t) = σ”(t) = (2 cos t − t sen t, 0). En t = 0 es a(0) = (2, 0).
Dado que σ(0) = (0, 0) y σ ′ (0) = (0, 4), entonces la ecuación de la recta tangente cuando
t = 0 es
(x, y) = (0, 0) + λ(0, 4).
2. Hallar una trayectoria σ tal que σ(0) = (0, −5, 1) y σ ′ (t) = (t, e t , t 2 ).
Solución: Si σ = (σ1, σ2, σ3), entonces se tiene que
σ ′ 1(t) = t ⇒ σ1(t) = 1
2 t2 + c1
σ ′ 2(t) = e t ⇒ σ2(t) = e t + c2
σ ′ 3(t) = t 2 ⇒ σ3(t) = 1
3 t3 + c3
donde c1, c2 y c3 son constantes que se obtienen de σ(0) = (0, −5, 1). De lo anterior, σ1(0) = 0,
es decir 1
2 02 + c1 = 0, entonces c1 = 0. También, σ2(0) = −5, es decir e0 + c2 = −5, luego,
1 + c2 = −5, entonces c2 = −6. Finalmente, σ3(0) = 1, es decir 1
3 03 + c3 = 1, entonces c3 = 1.
1
Se concluye que σ(t) =
2 t2 , e t − 6, 1
3 t3
+ 1 .
3. Una partícula que se mueve sobre la curva c(t) = (t 2 , t 3 − 4t, 0) se sale por la tangente en
t = 2. Determine cuál es la posición de la partícula en t = 3.
Solución: Primero se calcula el vector velocidad para luego encontrar la ecuación de la recta
tangente y con ésta determinar la posición.
v(t) = c ′ (t) = (2t, 3t 2 − 4, 0) ⇒ v(2) = (4, 8, 0)
Se sabe que c(2) = (4, 0, 0), así la ecuación vectorial l(λ) = (4, 0, 0) + λ(4, 8, 0) corresponde a
la recta tangente y en t = 3 equivale a encontrar la posición sobre la recta en λ = 1, de esta
forma la partícula se encuentra en (8, 8, 0).
4. Una partícula sigue la trayectoria σ(t) = (e t , e −t , cos t) y cuando t = 1 se sale por una tan-
gente, ¿dónde está en t = 2?
UNED Acortando distancias