GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

76 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
donde θ ∈ [0, 2π] y φ ∈
Según esto,
0, 1
(por ser media esfera).
2
Tθ × Tφ = (−4 sen θ cos φ, 4 cos θ cos φ, 0) × (−4 cos θ sen φ, −4 sen θ sen φ, 4 cos φ)
= (16 cos θ cos 2 φ, 16 sen θ cos 2 φ, 16 sen φ cos φ).
Ahora se calcula ∇ × F :
i
∂
∇ × F =
∂x
x
j
∂
∂y
k
∂
∂z
2 + y − 4 3xy 2xz + z2
= 0 i − 2z j + (3y − 1) k
Evaluando ∇ × F en la parametrización se obtiene
Por lo tanto,
∇ × F = 0 i − 8 sen φ j + (12 sen θ cos φ − 1) k.
(∇ × F ) · (Tθ × Tφ) = (0, −8 sen φ, 12 sen θ cos φ − 1) · (16 cos θ cos 2 φ, 16 sen θ cos 2 φ, 16 sen φ cos φ)
Finalmente,
(∇ × F ) · dS =
S
= 16(−8 sen θ cos 2 φ sen φ + 12 sen θ sen φ cos 2 φ − sen φ cos φ)
= 16(4 sen θ cos 2 φ sen φ − sen φ cos φ).
2π
= 16
= 16
π
2
0 0
2π
0
2π
0
(∇ × F ) · (Tθ × Tφ) dφ dθ
π
2
0
(4 sen θ cos 2 φ sen φ − sen φ cos φ) dφ dθ
− 4
3 cos3 φ sen θ + 1
2 cos2 φ
π
2
0
2π
4 1
dθ = 16 sen θ − dθ = −16π.
0 3 2
4. Un fluido uniforme que fluye verticalmente hacia abajo se describe mediante el campo vectorial
F (x, y, z) = (0, 0, −1). Hallar el flujo a través del cono z = (x 2 + y 2 ) 1
2 , x 2 + y 2 ≤ 1.
Solución: Se puede parametrizar el cono mediante:
x = u cos v, y = u sen v, z = u,
donde v ∈ [0, 2π], 0 ≤ u ≤ 1 (u y v tienen el mismo significado geométrico que en las
coordenadas cilíndricas).
UNED Acortando distancias