GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

20 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
Solución: Una vez que la partícula abandona la trayectoria sigue a lo largo de la recta tan-
gente a la curva en el punto donde t = 1. Entonces, es preciso determinar la ecuación de
dicha recta.
Un punto en la recta es el punto σ(1) = (e, e −1 , cos 1). Un vector director de la recta está
dado por σ ′ (1); pero σ ′ (t) = (e t , −e −t , − sen t), por lo que σ ′ (1) = (e, −e −1 , − sen 1). Así, la
ecuación de la recta tangente a la curva en el punto correspondiente a t = 1 es:
L(t) = t(e, −e −1 , − sen 1) + (e, e −1 , cos 1).
Para saber dónde está la partícula en t = 2 hay que notar que solo ha estado una unidad de
tiempo sobre la recta, de modo que cuando t = 2, la partícula se encuentra en el punto:
L(1) = (e, −e −1 , − sen 1) + (e, e −1 , cos 1) = (2e, 0, cos 1 − sen 1).
5. Probar que d
dσ
dρ
[σ(t)×ρ(t)] = ×ρ(t)+σ(t)× , donde σ y ρ son trayectorias diferenciables
dt dt dt
en R3 .
Solución: En primer lugar, observe que esta propiedad tiene una analogía con la regla de la
derivada de un producto para funciones de R en R.
Si σ = (σ1, σ2, σ3) y ρ(t) = (ρ1, ρ2, ρ3); entonces
σ × ρ = (σ2ρ3 − σ3ρ2, σ3ρ1 − σ1ρ3, σ1ρ2 − σ2ρ1) ,
luego, dado que las funciones componentes son reales de variable real, se aplican las corres-
pondientes propiedades de la derivada:
d
d
[σ × ρ] =
dt
=
dt (σ2ρ3 − σ3ρ2), d
dt (σ3ρ1 − σ1ρ3), d
dt (σ1ρ2
− σ2ρ1)
dσ2
dt ρ3
dρ3 dσ3
+ σ2 −
dt dt ρ2
dρ2 dσ3
− σ3 ,
dt dt ρ1
dρ1
+ σ3
dt
dσ1
dt ρ2
dρ2 dσ2
+ σ1 −
dt dt ρ1
dρ1
− σ2
dt
dσ2
=
dt ρ3 − dσ3 dσ3
ρ2,
dt dt ρ1 − dσ1 dσ1
ρ3,
dt dt ρ2 − dσ2
dt ρ1
dρ3 dρ2 dρ1 dρ3 dρ2 dρ1
+ σ2 − σ3 , σ3 − σ1 , σ1 − σ2
dt dt dt dt dt dt
= dσ dρ
× ρ + σ ×
dt dt .
UNED Acortando distancias
dσ1
−
dt ρ3
dρ3
− σ1
dt ,