GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 71
Luego, el vector normal unitario es
Tu × Tv
Tu × Tv = (2 cos u cos v − cos u cos2 v, 2 sen u cos v − sen u cos2 v, −2 sen v + sen v cos v)
2 − cos v
= (cos u cos v, sen u cos v, − sen v)
Para identificar la superficie haga x = 0; entonces, x = (2 − cos v) cos u = 0. Por lo tanto,
cos u = 0, luego u = π
. Sustituyendo en y = (2 − cos v) sen u se tiene
2
π
y = (2 − cos v) sen = 2 − cos v
2
Dado que sen v = z, entonces sen 2 v = z 2 y, por lo tanto cos v = √ 1 − z 2 .
De aquí se tiene que y = 2 − cos v = 2 − √ 1 − z 2 y, elevando al cuadrado y arreglando se
obtiene: (y −2) 2 +z 2 = 1, es decir, el corte de la superficie con el plano yz es la circunferencia
(y − 2) 2 + z 2 = 1. Usted puede convencerse de que el corte de la superficie con cualquier
plano de ecuación y = ax es una circunferencia de radio 1 (como la anterior) y centro en
(x0, ay0, 0). Es decir, la superficie es un toro con centro en (0, 0) que se obtiene al hacer girar
la circunferencia (y − 2) 2 + z 2 = 1 alrededor del eje z.
Por último, como Tu ×Tv = (cos u cos v(2 − cos v), sen u cos v(2 − cos v), sen v(−2 + cos v)), entonces
la expresión 2 − cos v nunca puede hacerse 0, cos u cos v = 0 si u = π π
o v = , en esta
2 2
situación la segunda componente se hace 0, pero la tercera no; es decir para cualesquiera u
y v se tiene Tu × Tv = (0, 0, 0) por lo que la parametrización es suave.
3. Se perfora un hoyo cilíndrico de radio 1 a través de una bola sólida de radio 2 para formar
una junta anular (vea la figura 7.4.9 en el texto). Hallar el volumen de la junta y el área de
su superficie exterior.
Solución: La esfera está dada por la ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 4 y el cilindro por x 2 + y 2 = 1.
Primero se determina donde se cortan: el cilindro es x 2 + y 2 = 1 y, sustituyendo en la
ecuación de la esfera 1 + z 2 = 4, se obtiene que z = ± √ 3. Esto dice que se cortan en los
planos z = √ 3 y z = − √ 3.
Ahora se calculará el volumen de la mitad superior y este resultado se multiplicará por 2.
Observe que la proyección de esa mitad superior, sobre el plano xy es x 2 + y 2 = 4 (haciendo
z = 0). Entonces, usando coordenadas cilíndricas se tiene que θ ∈ [0, 2π], r ∈ [1, 2] (el 1 es el
radio del cilindro y el 2 es el radio de la proyección); z va de z = 0 hasta la superficie esférica
que, en coordenadas cilíndricas es r 2 +z 2 = 4; es decir z = √ 4 − r 2 (se toma la parte positiva
porque se está utilizando la parte positiva del eje z). En conclusión, el volumen de la figura
UNED Acortando distancias