GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 77
Con esto,
Tu × Tv = (cos v, sen v, 1) × (−u sen v, u cos v, 0) = (−u cos v, −u sen v, u);
entonces F · Tu × Tv = (0, 0, −1) · (−u sen v, u cos v, 0) = (−u cos v, −u sen v, u) = −u.
Luego, el flujo es
S
F · dS =
1 2π
0
0
(−u) dv du = −π.
√ √
2 2
5. En el ejercicio anterior, ahora F = − , 0, , ¿cuál es ahora el flujo a través del cono?
2 2
Solución: Ahora se tiene que
√ √
√
2 2
2
F · Tu × Tv = − , 0, · (−u sen v, u cos v, 0) = (−u cos v, −u sen v, u) = (u cos v − u).
2 2
2
El flujo es
Ejercicios propuestos
S
F · dS =
1 2π
0
0
√ 2
2
(u cos v − u) dv du = −1
2 π√ 2.
1. Calcule la integral de superficie de f(x, y, z) = 3x + 2y − 6, sobre el cuarto de esfera dado
por x 2 + y 2 + z 2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0.
2. Determine la integral de superficie de f(x, y, z) = x 2 y, sobre la porción del plano con ecua-
ción 2x + 3y − 5z = 1 que se encuentra en el primer octante.
3. Calcule el valor promedio de la función f(x, y, z) = x, sobre la porción del plano z = x cuya
proyección en el plano xy es el cuadrado [−1, 1] × [−1, 1].
4. Determine la integral de superficie de F (x, y, z) = (x, y, z), sobre la superficie dada por
|x| + |y| + |z| = 1, con las normales apuntando hacia el exterior.
5. Determine la integral de superficie de F (x, y, z) = (z 2 , 0, 0), sobre el semielipsoide superior
2x 2 + 3y 2 + z 2 = 6, z ≥ 0, con las normales apuntando hacia el exterior.
6. Pruebe que el flujo del campo F (x, y, z) = (ax, by, cz), donde a, b, c son números reales
positivos, a través de la esfera con centro en el origen y radio c > 0, con sus normales
apuntando hacia el exterior es iguala a (a + b + c)Ve, donde Ve es el volumen de la esfera.
UNED Acortando distancias