GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR 31
2. Usando el principio de Cavalieri, calcular el volumen de la estructura mostrada en la figura
5.1.11, página 317; cada sección transversal es un rectángulo de longitud 5 y ancho 3.
Solución: Para calcular el volumen de la estructura, observe que cada sección transversal es
un rectángulo de 5 de largo por 3 de ancho, de modo que A(x) = 15 (el área del rectángulo
que corresponde a la sección transversal). Si se toma como plano de referencia la base de la
estructura entonces la distancia mínima es 0 (la base está sobre el plano) y la máxima es 7
(la altura de la estructura), de modo que el volumen de la estructura es (según el principio
de Cavalieri): V =
7
3. Evaluar la integral doble
Solución:
0
(15)dx = 15x | 7
0
R
= 105 − 0 = 105.
|y| cos 1
4 πx
dydx, donde R = [0, 2] × [−1, 0].
En la región propuesta se tiene que y ≤ 0, por lo tanto |y| = −y; entonces
|y| cos
R
1
4 πx
2 0
dydx = −y cos
0 −1
1
4 πx
dydx
2
= −
0
1
2 y2 cos π
4 x
0 dx
−1
2
1 π
= cos
0 2 4 x
dx
= 2 π
sen
π 4 x
2
= 2
sen
π
π
− sen 0 =
2 2
π .
4. Evaluar la integral
R
sen(x + y) dx dy, donde R = [0, 1] × [0, 1].
Solución: De acuerdo con el teorema de Fubini:
sen(x + y) dxdy
R
=
=
=
1 1
0
1
0
1
0
0
0
sen(x + y) dxdy
[− cos(x + y)] 1
0 dy
(− cos(1 + y) + cos(y)) dy
= [− sen(1 + y) + sen(y)] 1
0
= − sen 2 + sen 1 + sen 1 − sen 0
= − sen 2 + 2 sen 1.
UNED Acortando distancias