GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

Capítulo 3. Derivadas de orden superior,
máximos y mínimos
3.3 Extremos de funciones con valores reales
En esta sección se establece un método para calcular máximos y mínimos, tanto relativos como
absolutos, de funciones escalares (o campos escalares) es decir, funciones que van de R 2 en R o de
R 3 en R.
Extremos relativos
En primer lugar se proporciona la definición de máximo local, mínimo local, extremo local o
relativo, punto crítico y punto silla.
Los conceptos de máximo y mínimo local o relativo amplían los conceptos correspondientes
para funciones de una variable. Para el caso de una función de dos variables, el significado geo-
métrico es que corresponde al "punto más alto" en el caso de un máximo y al "punto más bajo" en
el caso de un mínimo de "alguna parte" de la gráfica de la función. El dibujo de la página 200 (191)
ilustra apropiadamente estos conceptos. En general, un máximo relativo corresponde a un punto
cuya imagen es mayor o igual que todas las imágenes en un cierto entorno y un mínimo relativo
es aquel cuya imagen es menor o igual que todas las imágenes en un entorno.
A continuación, en el texto, se enuncia el teorema 4 que dice que si la función f es diferencia-
ble, entonces sus puntos extremos relativos (ya sean máximos o mínimos) deben buscarse entre
aquellos que hacen que el gradiente de la función se anule. Esto dice que si, por ejemplo, f es una
función de dos variables, entonces los posibles puntos máximos o mínimos relativos son aquellos
puntos (x, y) tales ▽f(x, y) = (0, 0). Dicho de otro modo, estos puntos deben buscarse entre las
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