GE3011 Cálculo Superior - Repositorio de la Universidad Estatal a ...

98 GUÍA DE ESTUDIO: CÁLCULO SUPERIOR
Por otra parte, el punto (2, 1, 0) se obtiene cuando t = 1 y el punto (4, 4, ln 2) se obtiene
cuando t = 2. Luego, la longitud de arco es
L =
2
1
2t + 1
dt = t
t
2 + ln t 2 = 3 + ln 2.
1
4. (6 puntos) Se debe determinar cuándo rot V = 0. Se tiene
i j k
∂ ∂ ∂
rot V = ∇ × V =
∂x ∂y ∂z
my
x2 + y2 nx
x2 + y2
0
∂ nx
= 0i + 0j+
∂x x2 + y2
− ∂
my
∂y x2 + y2
k
2 2 2
n (x + y ) − 2nx
=
(x2 + y2 ) 2 − m (x2 + y2 ) − 2my2 (x2 + y2 ) 2
k
2 2 n (y − x )
=
(x2 + y2 ) 2 − m (x2 − y2 )
(x2 + y2 ) 2
k
Igualando a 0 se tiene n (y 2 − x 2 ) − m (x 2 − y 2 ) = 0 ⇒ (m + n) (y 2 − x 2 ) = 0 para todo
(x, y) = (0, 0), por lo que se debe tener m + n = 0.
5. (4 puntos) Se debe probar que c ′ (t) = F (c(t)). Se tiene c ′ (t) = (cos t, − sen t, e t ); mientras
tanto F (c(t)) = F (sen t, cos t, e t ) = (cos t, − sen t, e t ). Por lo tanto son iguales.
6. (5 puntos) Considerando la integral interior vemos que x
varía de x = 1
2 y a x = √ y. Así, la región está comprendida
entre la recta y = 2x y la parábola y = x 2 . La gráfica de la
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.. . .. . ....
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.. . .. . ....
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región se da en la figura adjunta.
Para cambiar el orden de integración vemos que cuando
y = 4, entonces x = √ 4 = 2 y cuando y = 0, entonces
x = 0. Es decir 0 ≤ x ≤ 2, mientras que, como la parábola
queda por debajo de la recta, x2 ≤ y ≤ 2x, por lo tanto
. ... . .. . .. . ...
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. ... . .. . .. . ...
−2 −1
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.
2
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. 1
.
.
1 2
x.
.
3
Figura 18: Problema 6.
4 √
y
0
1
2 y
f(x, y)dxdy =
2 2x
0
x 2
UNED Acortando distancias
f(x, y)dydx.
4
3
y