INSTITUTO TECNOLÃGICO DE MAZATLAN - Profe Saul

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FIG.12 .- Cinemática directa.Un sistema de mando de robot causa a un manipulador remoto, seguir una trayectoria dereferencia estrechamente en un marco de referencia Cartesiano en el espacio de trabajo,sin el recurso a un modelo matemático intensivo de dinámica del robot y sin elconocimiento del robot y parámetros de carga. El sistema, derivado de la teoría linealmultivariable, utiliza a los manipuladores delanteros relativamente simples y controladoresde retroalimentación con modelo y adaptable de referencia del mando. El sistemarequiere dimensiones de posición y velocidad del extremo manipulador del efector. Éstospueden obtenerse directamente de los sensores ópticos o por cálculo que utiliza lasrelaciones de la cinemática conocidas entre el manipulador modelado y el extremo de lajuntura de la posición del efector. Derivando las ecuaciones de control, las ecuacionesdiferenciales no lineales acopladas a la dinámica del robot, expresan primero la formageneral de la cinemática, entonces la linealizacion por cálculo de perturbaciones sobreuna especifica operación del punto en las coordenadas Cartesianas del extremo delefector.El modelo matemático resultante es un sistema multivariable lineal de orden de 2n(donde n = es el número de coordenadas espaciales independientes del manipulador)esto expresa la relación entre los incrementos del actuador de n voltajes de control (lasentradas) y los incrementos de las coordenadas de n, la trayectoria de extremo del efector(los rendimientos). La trayectoria del efector incrementa la referencia, la trayectoria seincrementa: esto requiere la retroalimentación independiente y controladores demanipulación. Para este propósito, le basta aplicar posición y retroalimentación develocidad a través de la matriz de n x n posición y velocidad, la matriz de ganancia deretroalimentación.2.1.1.- MATRIZ <strong>DE</strong> ROTACIÒN.Una matriz de rotación de 3x3 se puede definir como una matriz de transformación queopera sobre un vector de posición en su espacio euclideo tridimensional y transforma suscoordenadas expresadas en un sistema de coordenadas rotado O U V W, (sistema ligadoal cuerpo) a un sistema de coordenadas de referencia O X Y ZSe dan 2 sistemas de coordenadas rectangulares ( Puvw= (Pu Pv Pz) T y Pxyz = (Px PyPz) T ) el sistema de coordenadas OXYZ y el sistema OUVW, teniendo sus orígenescoincidentes en el punto O.El sistema OXYZ está fijo en el espacio tridimensional y se considera como el sistema dereferencia.El sistema OUVW puede girar con respecto al sistema de referencia. Físicamente, unopuede considerar que el sistema OUVW está ligado al cuerpo. Esto es, está permanentey convenientemente unido al cuerpo rígido, y se mueve junto con el. Sean además (ik jykz) y (iu jv kw) los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas de los sistemasOXYZ, OUVW, respectivamente. Un punto “P” en el espacio se puede representar porsus coordenadas con respecto a ambos sistemas de coordenadas.Supondremos además que P esta en reposo y fijo respecto a OUVW, entonces P sepuede representar como:Puvw = (Pu Pv Pz) Ty Pxyz = (Px Py Pz) T20
2.1.2.-ANGULOS <strong>DE</strong> EULER.Los ángulos de Euler de tipo 2, también denominado ZYZ, y utilizados por ejemplo por losrobots de la marca ABB, son las siguientes rotaciones alrededor de los ejes principales delos sistemas fijo y móvil:1. Rotación en Z de ángulo α (Rz,α)2. Rotación en V de ángulo β (Rv,β)3. Rotación en W de ángulo γ (Rw,γ)La matriz de rotación resultante es:Rα,β,γ=Rz,αRv,βRw,γ2.1.3.- CUATERNION UNITARIO.Cuaternión unitarioEs aquel cuaternión cuya norma o valor absoluto es uno.Normalización de un cuaterniónDado un cuaternión cuya norma no sea igual a unopodemos normalizarlo definiendo un nuevo cuaternión,asociado al primero, mediante la siguiente operación:21
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