INSTITUTO TECNOLÒGICO DE MAZATLAN - Profe Saul

2.1.4.-TRANSFORMACIÒN HOMOGENEA.Una extensa parte del estudio de la cinemática trata de establecer la relación que existeentre un sistema de coordenadas y otro marco de referencia. La relación que existe entreambos sistemas se llama transformación homogénea, la cual involucra a la geometría entres dimensiones, por lo tanto, este esquema permite analizar las operaciones de rotaciónde un sistema de coordenadas a otro, así como las operaciones de translación en la quese conocen las coordenadas de un vector que se desplaza en algunos de los tres ejes delmarco de referencia.ROTACIÓNSi se tiene un marco de referencia fijo X 0 ,Y Q ,Z 0 y otro X X ,Y X ,Z X , que está rotado un ángulo6 con respecto al primero como se muestra en la siguiente figura.FIG. 13 .-Rotación de un sistema de coordenadas alrededor de eje Z 0La rotación del marco X X ,Y X ,Z X , está hecho tomando como base el eje Z 0 , por lo tanto,cualquier vector representando en el eje Z x , tendrá el mismo componente en el eje Z 0 ;esto no sucede para los ejes X 1 y Y 1 , para poder representar un vector que se encuentraen el marco X 1 , Y 1 , Z 1 , en el marco X Q ,Y 0 Z 0 . Es necesario hacer una transformación decoordenadas, y el procedimiento es el siguiente:Se busca la proyección del vector unitario i 1 , (del eje X 1 ), en i 0 (del eje X 0 ), el valor de estaproyección es cosθ. Posteriormente se busca la proyección de j 1 , en el mismo i 0 y k 1 , conel mismo procedimiento entonces se tiene que la proyección de j 1 , en i 0 es igual a -senθ yla proyección k 1 i 0 es 0.Con estos resultados se obtiene los tres primeros elementos de la matriz detransformación la cual tiene la siguiente estructura:Como se dijo:22